Question

正五邊形ABCDE的對(duì)角線AC、BE相交于點(diǎn)M．
（1）求證：四邊形CDEM是菱形； 
（2）設(shè)ME²=BE•BM，若AB=4，求BE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）證明∠D+∠DCA=180°，得到DE∥AC；同理可證DC∥BE，即可解決問題．
（2）證明△ABE∽△MAB，得到AB²=BE•BM；證明ME=AB=4，BM=BE-4，得到BE（BE-4）=16，解方程即可解決問題．

解答：解：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠D=

1

2

×

3

5

×360°=108°，∠DCA=

1

2

×

2

5

×360°=72°，
∴∠D+∠DCA=180°，
∴DE∥AC；同理可證DC∥BE，
∴四邊形DEMC為平行四邊形，而DE=DC，
∴四邊形CDEM是菱形．
（2））∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠AEB=

1

2

×

1

5

×360°=36°，∠EAM=

1

2

×

2

5

×360°=72°；
同理可求∠BAC=∠ABE=36°，
∴△ABE∽△MAB，
∴AB：BE=BM：AB，
∴AB²=BE•BM；
∵M(jìn)E²=BE•BM，
∴ME=AB=4，BM=BE-4，
∴BE（BE-4）=16，
解得：BE=2+2

5

或2-2

5

（舍去）．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定、菱形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握定理內(nèi)容，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、解答．