Question

在△ABC中，已知AB=37，AC=58，在BC上有一點(diǎn)D使得AB=AD，且D在B、C之間．若BD與DC的長度都是整數(shù)，則BD的長度是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：首先過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，由勾股定理可得：AC²=AH²+CH²，AB²=AH²+BH²，則可得AC²-AB²=CH²-BH²=（CH+BH）（CH-BH）=BC×CD．由AB=37，AC=58，可得BC×CD=3×5×7×19，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系與BD與DC的長度都是整數(shù)，確定BC=35或57，然后分析求解即可求得答案．

解答：解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
則AC²=AH²+CH²，AB²=AH²+BH²，
故AC²-AB²=CH²-BH²=（CH+BH）（CH-BH）=BC×CD．
∵AB=37，AC=58，
∴BC×CD=58²-37²=3×5×7×19．
∵AC-AB＜BC＜AC+AB，
∴21＜BC＜95，
∵BC為整數(shù)，
∴BC=35或BC=57．
若BC=35，則CD=3×19=57＞BC，D不在B、C之間，故應(yīng)舍去．
∴應(yīng)取BC=57，這時CD=35，BD=22．
故答案為：22．

點(diǎn)評：此題考查了三角形的三邊關(guān)系、勾股定理以及平方差公式等知識．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的應(yīng)用．