Question

猜想歸納：如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為kπ+2（k是正整數(shù)），半徑為1的⊙O分別與AD，AB相切．沿AB→BC→CD→DA的方向使⊙O在正方形ABCD的邊上滾動(dòng)．當(dāng)⊙O第一次回到起始位置時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，⊙O從開(kāi)始滾動(dòng)到停止，共滾動(dòng)了

 

圈；當(dāng)k=2時(shí)，⊙O從開(kāi)始滾動(dòng)到停止，共滾動(dòng)了

 

；當(dāng)k=n時(shí)，⊙O從開(kāi)始滾動(dòng)到停止，共滾動(dòng)了

 

．
（2）當(dāng)k=n時(shí)，⊙O從開(kāi)始滾動(dòng)到停止，滾過(guò)的面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）當(dāng)k=1時(shí)，得出正方形的邊長(zhǎng)為π+2，然后當(dāng)圓O在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓心O運(yùn)動(dòng)的路程為正方形的邊長(zhǎng)減去圓的直徑；當(dāng)圓O在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓心O運(yùn)動(dòng)的路程為2π；當(dāng)圓O在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理圓心O的路程為π；當(dāng)圓O在AD邊邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓心O運(yùn)動(dòng)的路程為2π，計(jì)算出總路程，除以圓的周長(zhǎng)可得出圓轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)；當(dāng)k=2時(shí)，得出正方形的邊長(zhǎng)為2π+2，然后當(dāng)圓O在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓心O運(yùn)動(dòng)的路程為正方形的邊長(zhǎng)減去圓的直徑，即為2π；當(dāng)圓O在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓心O運(yùn)動(dòng)的路程為3π；當(dāng)圓O在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理圓心O的路程為2π；當(dāng)圓O在AD邊邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓心O運(yùn)動(dòng)的路程為3π，計(jì)算出總路程，除以圓的周長(zhǎng)可得出圓轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)；同理當(dāng)n=k時(shí)，歸納得到圓運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)為2n+1；
（2）如圖，連接OE，OF，可得出四邊形OEBF為邊長(zhǎng)為1的正方形，用正方形的面積減去扇形OEF的面積，可得出不規(guī)則圖形BEF的面積，然后由大正方形ABCD的面積-小正方形A′B′C′D′的面積-4圖形BEF的面積，可得出圓O滾過(guò)的面積．

解答：解：（1）∵圓O的半徑為1，k=1時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為π+2，
∴當(dāng)圓O從開(kāi)始到與BC邊相切時(shí)，圓心O走過(guò)的路程為π+2-2=π；
當(dāng)圓O從與AB邊相切到與DC邊相切時(shí)，圓心O走過(guò)的路程為2π；
當(dāng)圓O與BC相切到與AD邊相切時(shí)，圓心O走過(guò)的路程為π；
當(dāng)圓O從與DC邊相切到與AB邊相切時(shí)，圓心O走過(guò)的路程為2π，
∴圓心O走過(guò)的總路程為6π，又圓的周長(zhǎng)為2π，
∴當(dāng)k=1時(shí)，⊙O從開(kāi)始滾動(dòng)到停止，共滾動(dòng)了3圈；
∵圓O的半徑為1，k=2時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為2π+2，
∴當(dāng)圓O從開(kāi)始到與BC邊相切時(shí)，圓心O走過(guò)的路程為2π；
當(dāng)圓O從與AB邊相切到與DC邊相切時(shí)，圓心O走過(guò)的路程為3π；
當(dāng)圓O與BC相切到與AD邊相切時(shí)，圓心O走過(guò)的路程為2π；
當(dāng)圓O從與DC邊相切到與AB邊相切時(shí)，圓心O走過(guò)的路程為3π，
∴圓心O走過(guò)的總路程為10π，
又圓的周長(zhǎng)為2π，
∴當(dāng)k=2時(shí)，⊙O從開(kāi)始滾動(dòng)到停止，共滾動(dòng)5圈；
同理：當(dāng)k=n時(shí)，⊙O從開(kāi)始滾動(dòng)到停止，共滾動(dòng)（2n+1）圈．
故答案為：3，5，2n+1；（9分）


（2）如圖，連接OE，OF，
∵S_{四邊形ABCD}-S_{四邊形A'B'C'D′}=（nπ+2）²-（nπ-2）²
=[（nπ+2）+（nπ-2）][（nπ+2）-（nπ-2）]
=2nπ×4
=8nπ，（14分）
且S_圖形EFB=S_{正方形OEBF}-S_扇形OEF=1²-

90π•12

360

=1-

π

4

，
則⊙O滾過(guò)的面積S=S_{四邊形ABCD}-S_{四邊形A'B'C'D′}-4S_圖形EFB=8nπ-4（1-

π

4

）=8nπ+π-4．（18分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，扇形面積公式，鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)，靈活轉(zhuǎn)化的能力，是一道綜合性較強(qiáng)的試題，要求學(xué)生掌握知識(shí)要全面．其中不規(guī)則圖形面積可以用規(guī)則圖形相加減來(lái)求，也可以通過(guò)平移，旋轉(zhuǎn)，拼割等方法來(lái)求．