Question

【題目】如圖，在△ABC中，CD是中線，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E，F分別為AB，AC上的動點（均不與端點重合），且CE⊥BF，垂足為H，BF與CD相交于G．

（1）求證：AE＝CG；

（2）當線段AE，CF之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時，BF為△ABC的角平分線？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當AE＝CF時，BF為△ABC的角平分線．理由見解析.

【解析】試題分析：

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可證得∠A=∠BCG=45°，再由∠ACE+∠BCE=90°，∠CBG+∠BCE=90°，得到∠ACE=∠CBG，這樣結(jié)合AC=BC，由“ASA”可證△ACE≌△CBG就可得到結(jié)論了；

（2）當AE=CF時，BF是△ABC的角平分線；由AE=CF，AE=CG，可得CF=CG，這樣∠CFG=∠CGF，進一步就可證得∠CBF=∠DBF，從而可得BF平分∠ABC.

試題解析：

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中線，

∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠A＝∠ABC＝∠BCG＝45°．

∵CE⊥BF，垂足為H，∴∠BHC＝90°．

∴∠CBG＋∠BCE＝90°．

∴∠ACE＝∠CBG．

在△ACE和△CBG中：

∴△ACE≌△CBG．

∴AE＝CG．

（2）當AE＝CF時，BF為△ABC的角平分線．

理由如下：∵AE＝CF，AE＝CG．

∴CF＝CG．

∴∠CFG＝∠CGF．

∵∠CFG＝∠A＋∠ABF，∠CGF＝∠BCG＋∠CBF，∠A＝∠BCG，

∴∠ABF＝∠CBF．即BF為△ABC的角平分線．