【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),B點(diǎn)與C點(diǎn)是直線yx3x軸、y軸的交點(diǎn).D為線段AB上一點(diǎn).

1)求拋物線的解析式及A點(diǎn)坐標(biāo).

2)若點(diǎn)D在線段OB上,過(guò)D點(diǎn)作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)E,求出點(diǎn)E到直線BC的距離的最大值.

3D為線段AB上一點(diǎn),連接CD,作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB、BD

當(dāng)點(diǎn)B落坐標(biāo)軸上時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,ABD的內(nèi)角能否等于45°,若能,求此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1A(﹣2,0);(2EBC的最大距離為;(3D10,0);D23,0);B坐標(biāo)為(0,3)或(-3)或()或(﹣,).

【解析】

1)求出BC兩點(diǎn)的坐標(biāo),代入拋物線解析式即可得出答案;

2)設(shè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則Fm,m3),過(guò)點(diǎn)EEHBC于點(diǎn)H,EFyFyE,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出E到直線BC的距離的最大值;

3)①點(diǎn)B′在以C為圓心,CB為半徑的圓C上.所以滿足條件的B′有兩個(gè),分別位于y軸、x軸,結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)解答即可;

②分不同的情況進(jìn)行討論:

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)B′位于y軸上,易得點(diǎn)B′的坐標(biāo);

(Ⅱ)如圖3,連接CB′,構(gòu)造菱形DB′CB,根據(jù)菱形的性質(zhì)求得B′3,3);

(Ⅲ)∠B′AD45°,如圖4,連接CB′,過(guò)點(diǎn)B′分別作坐標(biāo)軸的垂線,垂足為EF,在直角CFB′中,由勾股定理知m2+(5m2=(32,解出m即可;

(Ⅳ)如圖5,∠AB′D45°,連接CB’,過(guò)點(diǎn)B′y軸的垂線,垂足為點(diǎn)F,由軸對(duì)稱性質(zhì)可得當(dāng)∠AB′D45°時(shí),點(diǎn)A在線段CB′上,結(jié)合勾股定理求得m的值,進(jìn)而求得符合條件的點(diǎn)B′的坐標(biāo).

1)∵B點(diǎn)與C點(diǎn)是直線yx3x軸、y軸的交點(diǎn).

B3,0),C0,﹣3),

,解得:,

∴拋物線的解析式為

y0,則,

解得x1=﹣2x23,

A(﹣2,0);2)設(shè)E點(diǎn)到直線BC的距離為d,E點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,Fm,m3),

B30),C0,﹣3),

∴∠OBC45°,

如圖1,過(guò)點(diǎn)EEHBC于點(diǎn)H,

EFH為等腰直角三角形,

EH,

EFyFyEm3(),

0≤m≤3),

,

當(dāng)時(shí),EF的最大值為,

dEF

EBC的最大距離為;

3)①點(diǎn)B′在以C為圓心,CB為半徑的圓C上;

(Ⅰ)當(dāng)B′點(diǎn)落在x軸上時(shí),D100);

(Ⅱ)當(dāng)B′點(diǎn)落在y軸上時(shí),如圖2CB′CB3,

∵∠OB′D45°

ODOB’33,

;

②分別畫出圖形進(jìn)行討論求解:

(Ⅰ)∠B′DA45°時(shí),如圖2,OB′33B′0,33

(Ⅱ)如圖3,連接CB′,∠B′DA=∠CBD45°

DB′BC,可得四邊形DB′CB是菱形,

B′(﹣3,﹣3).

(Ⅲ)∠B′AD45°,如圖4,連接CB′,過(guò)點(diǎn)B′分別作坐標(biāo)軸的垂線,垂足為E、F

設(shè)線段FB’的長(zhǎng)為m,B′EAE2m,可得CF5m,

在直角三角形CFB’中,m2+5m2=(32,

解得m

B′),

(Ⅳ)如圖5,∠AB′D45°,連接CB’,過(guò)點(diǎn)B′y軸的垂線,垂足為點(diǎn)F

由軸對(duì)稱性質(zhì)可得,∠CB′D=∠CBD45°,所以當(dāng)∠AB′D45°時(shí),點(diǎn)A在線段CB′上,

,

設(shè)線段FB′的長(zhǎng)為2m,FC3m,(2m2+3m2,

解得:mB′,

綜合以上可得B′坐標(biāo)為(0)或或()或

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