【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=10,將∠MPN的頂點P在矩形ABCD的邊AD上滑動,在滑動過程中,始終保持∠MPN=90°,射線PN經(jīng)過點C,射線PM交直線AB于點E,交直線BC于點F.
(1)求證:△AEP∽△DPC;
(2)在點P的運動過程中,點E與點B能重合嗎?如果能重合,求DP的長;
(3)是否存在這樣的點P使△DPC的面積等于△AEP面積的4倍?若存在,求出AP的長;若不存在,請證明理由.
【答案】(1)證明詳見解析;(2)點E與點B能重合,B,E重合時DP的長為1或9;(3) 存在滿足條件的點P,AP=1.5.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì),推出∠D=∠A=90°,再由直角三角形的性質(zhì),得出∠PCD+∠DPC=90°,又因∠CPE=90°,推出∠EPA+∠DPC=90°,∠PCD=∠EPA,從而證明△CDP∽△PAE;
(2)利用當(dāng)B,E重合時,利用已知得出△ABP∽DPC,進而求出DP的長即可;
(3)假設(shè)存在滿足條件的點P,設(shè)DP=x,則AP=10﹣x,由△CDP∽△PAE知,求出DP即可.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=∠A=90°,CD=AB=6,
∴∠PCD+∠DPC=90°,
又∵∠CPE=90°,
∴∠EPA+∠DPC=90°,
∴∠PCD=∠EPA,
∴△AEP∽△DPC;
(2)假設(shè)在點P的運動過程中,點E能與點B重合,
當(dāng)B,E重合時,
∵∠BPC=90°,
∴∠APB+∠DPC=90°,
∵∠DPC+∠DCP=90°,
∴∠DCP=∠APB,
∵∠A=∠D,
∴△ABP∽DPC,
∴,
即,
解得:DP=1或9,
∴B,E重合時DP的長為1或9;
(3)存在滿足條件的點P,
∵△CDP∽△PAE,
根據(jù)使△DPC的面積等于△AEP面積的4倍,得到兩三角形的相似比為2,
∴=2,
即=2,
解得AP=1.5.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合題。
(1)計算:﹣14﹣16÷(﹣2)3+|﹣ |×(1﹣0.5)
(2)化簡:4xy﹣3y2﹣3x2+xy﹣3xy﹣2x2﹣4y2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是某校九年級(1)班20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)測驗的成績統(tǒng)計表:
成績(分) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
人數(shù)(人) | 1 | 5 | x | y | 2 |
(1)若這20名學(xué)生成績的平均分數(shù)為82分,求x和y的值;
(2)在(1)的條件下,設(shè)這20名學(xué)生本次測驗成績的眾數(shù)為a,中位數(shù)為b,求a,b的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的“愛讀書,讀好書,好讀書”的習(xí)慣,我市某中學(xué)舉辦了“漢字聽寫大賽”,準備為獲獎同學(xué)頒獎.在購買獎品時發(fā)現(xiàn),一個書包和一本詞典會花去48元,用124元恰好可以購買3個書包和2本詞典.
(1)每個書包和每本詞典的價格各是多少元?
(2)學(xué)校計劃總費用不超過900元,為獲勝的40名同學(xué)頒發(fā)獎品(每人一個書包或一本詞典),求最多可以購買多少個書包?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝點用6000購進A,B兩種新式服裝,按標價售出后可獲得毛利潤3800元(毛利潤=售價﹣進價),這兩種服裝的進價,標價如表所示.
類型 | A型 | B型 |
進價(元/件) | 60 | 100 |
標價(元/件) | 100 | 160 |
(1)求這兩種服裝各購進的件數(shù);
(2)如果A種服裝按標價的8折出售,B種服裝按標價的7折出售,那么這批服裝全部售完后,服裝店比按標價出售少收入多少元?
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