Question

如圖，Rt△ABC，∠ABC=90°，圓O與圓M外切，圓O與線段AC、線段BC、線段AB相切于點E、D、F，圓M與線段AC、線段BC都相切，其中AB=5，BC=12．求：
（1）圓O的半徑r；
（2）tg；
（3）sin；
（4）圓M的半徑r_m．

Answer 1

解：
（1）如圖1，
∵∠B=90°，
c=5，a=12，
∴b=13．
r==．

（2）在圖2中，連接CO、OD，
∵圓O內(nèi)切于三角形ABC，
∴CO平分∠ACB，∠CDO=90°．
tan∠DCO=．

（3）sin∠DCO=．

（4）∵圓M與圓O、線段AC、線段BC都相切，
∴圓心M必在CO上．
過點M作MH⊥OD，如圖3，
∴MH∥CD，
∴∠OMH=∠DCO．
∴sin∠OMH==sin∠DCO=，
∴，即，
解得．
分析：（1）根據(jù)已知條件知道圓O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，根據(jù)勾股定理可以求出AC邊，然后利用公式即可求出內(nèi)切圓的半徑；
（2）如圖（2），連接CO、OD，由于圓O內(nèi)切于三角形ABC，根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到CO平分∠ACB，∠CDO=90°，然后利用三角函數(shù)得到tan∠DCO=，這樣即可求解；
（3）利用（2）的結(jié)論和三角函數(shù)中正弦的定義即可求解；
（4）由圓M與圓O、線段AC、線段BC都相切得到圓心M必在CO上．過點M作MH⊥OD，如圖3，所以MH∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OMH=∠DCO，接著得到sin∠OMH==sin∠DCO=，由此得到關(guān)于r_m的方程，解方程即可求解．
點評：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)及解直角三角形，有一定的綜合性，解題時首先利用直角三角形內(nèi)切圓的知識求出半徑，然后利用相切兩圓的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義即可求解．