Question

2．如圖，矩形紙片ABCD，已知AB=2，BC=4，若點(diǎn)E是AD上一動(dòng)點(diǎn)（與A不重合），其0＜AE≤2，沿BE將△ABE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，連結(jié)PC，有下列說法：
①△ABE和△PBE關(guān)于直線BE對(duì)稱；
②線段PC的長(zhǎng)有可能小于2；
③四邊形ABPE有可能為正方形；
④當(dāng)△PCD是等腰三角形時(shí)，PC=2或$\sqrt{5}$．
其中正確的序號(hào)是 （　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根據(jù)折疊的性質(zhì)，以及圓的定義即可作出判斷①②③；以P、C、D為頂點(diǎn)的等腰三角形有兩種情況，點(diǎn)P與BC的中點(diǎn)H重合時(shí)和點(diǎn)P在CD的中垂線上兩種情況進(jìn)行討論，設(shè)DC的中點(diǎn)為K，過P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的長(zhǎng)．

解答 解：①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△ABE與△PBE關(guān)于直線BE對(duì)稱，則①正確；
②當(dāng)AE=AB=2時(shí)，PC的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P在BC上，則PC=2，四邊形ABPE是正方形，故②錯(cuò)誤，③正確．
④以P、C、D為頂點(diǎn)的等腰三角形有兩種情況．
第1種情況：點(diǎn)P與BC的中點(diǎn)H重合時(shí)：CH=CD．
即PC=CH=2；
第2種情況：點(diǎn)P在CD的中垂線上時(shí)，PD=PC，設(shè)DC的中點(diǎn)為K，過P作PF⊥BC于F，

則四邊形PFCK是矩形，PF=CK=1，PB=2．
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴FC=4-$\sqrt{3}$，
PC²=（4-$\sqrt{3}$）²+1²，
∴PC=$\sqrt{20-8\sqrt{3}}$，
故④錯(cuò)誤．
∴①③正確，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，正確討論，求得當(dāng)△BCP是等腰三角形時(shí)PC的長(zhǎng)是關(guān)鍵．