Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-C-B向點B運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）

（1）AC邊上是否存在點P，使得PA=PB？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（2）若點P恰好在△ABC的角平分線上，請求出t的值，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=；(2)t=2或或或

【解析】

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB，從而分別表示出PC、BC、BP的長，利用勾股定理列出方程求解即可；

（2）當點P在頂點處時就是在角平分線上，然后再分點P在AC和∠ABC的角平分線的交點處和點P在BC和∠BAC的角平分線的交點處利用相似三角形列式求得t值即可．

解：（1）如圖1，設(shè)存在點P，使得PA=PB，

此時PA=PB=2t，PC=4-2t，

在Rt△PCB中，

PC2+CB2=PB2，

即：（4-2t）2+32=（2t）2，

解得：t=，

∴當t=時，PA=PB；

（2）當點P在點C或點B處時，一定在△ABC的角平分線上，

∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4cm，

當點P在點C處時，

∵t=4÷2=2s；

點P在點B處時，

∴t=（4+3）÷2=；

當點P在∠ABC的角平分線上時，作PM⊥AB于點M，如圖2，

此時AP=2t，PC=PM=4-2t，

∵△APM∽△ABC，

∴AP：AB=PM：BC，

即：2t：5=（4-2t）：3，

解得：t=；

當點P在∠CAB的平分線上時，作PN⊥AB，如圖3，

此時BP=7-2t，PN=PC=（2t-4），

∵△BPN∽△BAC，

∴BP：BA=PN：AC，

即：（7-2t）：5=（2t-4）：4，

解得：t=，

綜上，當t=2s或s或s或s時，點P在△ABC的角平分線上．