Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知A（3，0），且M（1，）是拋物線上另一點(diǎn)．

（1）求a、b的值；

（2）連結(jié)AC，設(shè)點(diǎn)P是y軸上任一點(diǎn)，若以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（不與O、A重合），過點(diǎn)N作NH∥AC交拋物線的對(duì)稱軸于H點(diǎn)．設(shè)ON=t，△ONH的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；

（2）在中，當(dāng)x=0時(shí)．y=﹣2，得到OC=2，如圖，設(shè)P（0，m），則PC=m+2，OA=3，根據(jù)勾股定理得到AC==，①當(dāng)PA=CA時(shí)，則OP1=OC=2，②當(dāng)PC=CA=時(shí)，③當(dāng)PC=PA時(shí)，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到P3（0，），④當(dāng)PC=CA=時(shí)，于是得到結(jié)論；

（3）過H作HG⊥OA于G，設(shè)HN交Y軸于M，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OM=，求得拋物線的對(duì)稱軸為直線x= =，得到OG=，求得GN=t﹣，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到HG=，于是得到結(jié)論．

試題解析：（1）把A（3，0），且M（1，）代入得：，解得：；

（2）在中，當(dāng)x=0時(shí)．y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，如圖，設(shè)P（0，m），則PC=m+2，OA=3，AC==，分三種情況：

①當(dāng)PA=CA時(shí)，則OP1=OC=2，∴P1（0，2）；

②當(dāng)PC=CA=時(shí)，即m+2=，∴m=﹣2，∴P2（0，﹣2）；

③當(dāng)PC=PA時(shí)，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，則△AOC∽△P3EC，∴，∴P3C=，∴m=，∴P3（0，），④當(dāng)PC=CA=時(shí)，m=﹣2﹣，∴P4（0，﹣2﹣），綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；

（3）過H作HG⊥OA于G，設(shè)HN交Y軸于M，∵NH∥AC，∴，∴，∴OM=，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x= =，∴OG=，∴GN=t﹣，∵GH∥OC，∴△NGH∽△NOM，∴，即，∴HG=，∴S=ONGH=t（t﹣）=t2﹣t（0＜t＜3）．

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）由題意得：，解得：，b=-2，∴．

由（1）得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為=，設(shè)AC與拋物線y=的對(duì)稱軸x=1交于點(diǎn)F，直線x=1與x軸交于E點(diǎn)，則F(1，)，E（1，0）．

①當(dāng)0＜t＜1時(shí)，EN=1-t，由得，，∴EH= ，∴=ONEH=，即；

②當(dāng)1≤t≤3時(shí)，EN=t-1，由得，，∴EH= ，∴=ONEH=，即；

∴ ．