Question

15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB⊥AC，∠DAC=45°，AC=2，則BD的長為（　�。�

• A． 6
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AO=$\frac{1}{2}$AC=1，BD=2BO，求出∠ACB=∠DAC=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=45°，求出∠ABC=∠ACB，推出AB=AC=2，根據(jù)勾股定理求出BO，即可得出答案．

解答 解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=2，
∴AD∥BC，AO=$\frac{1}{2}$AC=1，BD=2BO，
∵∠DAC=45°，
∴∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠ABC=180°-90°-45°=45°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC=2，
由勾股定理得：BO=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BD=2BO=2$\sqrt{5}$，
故選B．

點評 本題考查了等腰三角形判定，勾股定理，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．