【題目】如圖,在RtABC中,BAC=90°,AB=4,AC=3,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P離開點(diǎn)A后,過(guò)點(diǎn)P作PEAB交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EFAC于F,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),矩形PEFA與ADE重疊部分的面積為S平方單位長(zhǎng)度.

(1)PE的長(zhǎng)為 (用含t的代數(shù)式表示);

(2)求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式;

(3)求S的最大值及S取得最大值時(shí)t的值;

(4)當(dāng)S為ABC面積的時(shí),t的值有 個(gè).

【答案】(1) (4-t).(2) S=(3) (4)4.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)EPAC,得,列出比例式即可解決.

(2)分兩種情形討論①如圖1中,當(dāng)0t2時(shí),根據(jù)S=EGAP即可計(jì)算,②如圖2中,當(dāng)2t4時(shí),根據(jù)S=GEAF即可計(jì)算.

(3)分兩種情形,利用配方法根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可解決.

(4)分兩種情形,列出方程即可解決,注意檢驗(yàn)是否符合題意.

試題解析:(1)如圖1中,EPAC,

,

PE=(4-t).

(2)①當(dāng)0t2時(shí),

∵∠BAC=90°,CD=DB,

∴∠DAB=B,∵∠APG=BAC=90°,

∴△APG∽△BAC,

,

,

PG=t,

EG=3-t,

S=EGAP=-t2+t.

②當(dāng)2t4時(shí)如圖2中,∵∠FAG=C,AFG=BAC,

∴△AFG∽△CAB,

FG=4-t,GE=2t-4,

S=GEAF=-t2+-6.

綜上所述S=

(3)當(dāng)0t2時(shí),S=-(t-1)2+,

-0,

t=1時(shí),S最大值為,

當(dāng)2t4時(shí),S=-(t-3)2+,

-0,

t=3時(shí),S最大值為

綜上所述t=1或3時(shí),S最大值都是

(4)由題意-t2+t=,整理得到5t2-10t+4=0,t=符合題意.

或-t2+t-6=,整理得到5t2-30t+44=0,t=符合題意,

S為ABC面積的時(shí),t的值有四個(gè).

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