【題目】如圖,為⊙的直徑,分別切⊙于點交的延長線于點,的延長線交⊙于點于點.
⑴求證;
⑵若,求的長.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題分析:(1)利用切線長定理得到OC平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,利用切線的性質(zhì)得OB⊥BC,則∠BCO+∠COB=90°,由于∠FEB+∠FOE=90°,∠COB=∠FOE,所以∠FEB=∠ECF;
(2)連接OD,如圖,利用切線長定理和切線的性質(zhì)得到CD=CB=6,OD⊥CE,則CE=10,利用勾股定理可計算出BE=8,設(shè)⊙O的半徑為r,則OD=OB=r,OE=8﹣r,在Rt△ODE中,根據(jù)勾股定理得r2+42=(8﹣r)2,解得r=3,所以O(shè)E=5,OC=3,然后證明△OEF∽△OCB,利用相似比可計算出EF的長.
試題解析(1)證明:∵CB,CD分別切⊙O于點B,D,
∴OC平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,OB⊥BC,∴∠BCO+∠COB=90°,
∵EF⊥OG,∴∠FEB+∠FOE=90°,而∠COB=∠FOE,∴∠FEB=∠ECF;
(2)解:連接OD,如圖,
∵CB,CD分別切⊙O于點B,D,∴CD=CB=6,OD⊥CE,∴CE=CD+DE=6+4=10,
在Rt△BCE中,BE==8,
設(shè)⊙O的半徑為r,則OD=OB=r,OE=8﹣r,
在Rt△ODE中,r2+42=(8﹣r)2,解得r=3,
∴OE=8﹣3=5,
在Rt△OBC中,OC==3,
∵∠COB=∠FOE,∴△OEF∽△OCB,
∴,即,∴EF=2.
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【題目】如圖,ABCD的對角線AC、BD相交于點O,AE=CF.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)連接DE、BF,若BD⊥EF,試探究四邊形EBDF的形狀,并對結(jié)論給予證明.
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【題目】某班為滿足同學(xué)們課外活動的需求,要求購排球和足球若干個.已知足球的單價比排球的單價多元,用元購得的排球數(shù)量與用元購得的足球數(shù)量相等.
⑴排球和足球的單價各是多少元?
⑵若恰好用去元,有哪幾種購買方案?
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【題目】如圖,在ABCD中,點E,F(xiàn)在對角線AC上,且AE=CF.求證:
(1)DE=BF;
(2)四邊形DEBF是平行四邊形.
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【題目】 如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點和.
(1)填空:一次函數(shù)的解析式為 ,反比例函數(shù)的解析式為 ;
(2)點是線段上一點,過點作軸于點,連接,若的面積為,求的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,點E、D、F分別在AB、BC、AC上且DE∥CA,DF∥BA,下列四個判斷中不正確的是( )
A.四邊形AEDF是平行四邊形
B.如果∠BAC=90°,那么四邊形AEDF是矩形
C.如果AD⊥BC,那么四邊形AEDF是菱形
D.如果AD平分∠BAC,那么四邊形AEDF是菱形
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