Question

3．已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P是拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-3）．
（1）如圖1，直線l過點(diǎn)Q（0，-1）且平行于x軸，過P點(diǎn)作PB⊥l，垂足為B，連接PA，猜想PA與PB的大小關(guān)系：PA=PB（填寫“＞”“＜”或“=”），并證明你的猜想．
（2）請(qǐng)利用（1）的結(jié)論解決下列問題：
①如圖2，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-5），連接PC，問PA+PC是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)說明理由，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
②若過動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q（0，-1）的直線交拋物線于另一點(diǎn)D，且PA=4AD，求直線PQ的解析式（圖3為備用圖）．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出PA和PB，從而可判斷它們相等；
（2）①過點(diǎn)Q作QB∥x軸，過P點(diǎn)作PB⊥QB于B點(diǎn)，如圖2，由（1）得PB=PA，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)P、B、C共線時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
②過點(diǎn)Q（0，-1）作直線l平行于x軸，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如圖3，由（1）得PB=PA，DE=DA，再證明△QDE∽△QPB，利用相似比得到$\frac{QE}{QB}$=$\frac{DE}{PB}$=$\frac{1}{4}$，設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），PB=$\frac{1}{4}$m²+1，易得E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$m，-1），D點(diǎn)坐標(biāo)為[$\frac{1}{4}$m，-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$m）²-2]，則ED=$\frac{1}{64}$m²+1，然后根據(jù)DE和PB的數(shù)量關(guān)系列方程$\frac{1}{4}$m²+1=4（$\frac{1}{64}$m²+1），解方程求出m，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求直線PQ的解析式．

解答 解：（1）PA與PB相等．
理由如下：設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），
∵PA=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}-2+3）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
PB=-1-（-$\frac{1}{4}$m²-2）=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PA=PB．
故答案為=；
（2）①存在．
過點(diǎn)Q作QB∥x軸，過P點(diǎn)作PB⊥QB于B點(diǎn)，如圖2，由（1）得PB=PA，則PA+PC=PB+PC，
當(dāng)點(diǎn)P、B、C共線時(shí)，PB+PC最小，此時(shí)PC⊥QB，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-$\frac{1}{4}$x²-2=-$\frac{1}{4}$×4-2=-3，
即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）；
②過點(diǎn)Q（0，-1）作直線l平行于x軸，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如圖3，由（1）得PB=PA，DE=DA，
∵PA=4AD，
∴PB=4DE，
∵DE∥PB，
∴△QDE∽△QPB，
∴$\frac{QE}{QB}$=$\frac{DE}{PB}$=$\frac{1}{4}$，
設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），PB=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$m，-1），D點(diǎn)坐標(biāo)為[$\frac{1}{4}$m，-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$m）²-2]，
∴ED=-1+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$m）²+2=$\frac{1}{64}$m²+1，
∴$\frac{1}{4}$m²+1=4（$\frac{1}{64}$m²+1），解得m₁=4，m₂=-4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-6）或（-4，-6），
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-6）時(shí)，直線PQ的解析式為y=-$\frac{5}{4}$x-1，
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-6）時(shí)，直線PQ的解析式為y=$\frac{5}{4}$x-1，
即直線PQ的解析式為y=$\frac{5}{4}$x-1或y=-$\frac{5}{4}$x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式．