Question

【題目】(1)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合）將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC．求證：△ABD≌△ACE；

(2)探索：如圖2，在Rt△ABC與Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點D落在BC邊上，試探索線段BD2、CD2、DE2之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）2AD2＝BD2+CD2，理由見解析;（3）4．

【解析】

（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)推出∠BAD＝∠CAE，然后用邊角邊證明△BAD≌△CAE即可；

（2）連接EC，先用邊角邊證明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE＝45°，進而推出∠BCE＝90°，由勾股定理可得DE2＝CE2+CD2，然后再由DE＝AD可得出結(jié)論；

（3）將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AG，連接CG、DG，易得△DAG是等腰直角三角形，同理可證△BAD≌△CAG，然后推出DG＝4，即可得結(jié)果.

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

（2）結(jié)論：2AD2＝BD2+CD2，

理由是：如圖2中，連接EC．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∵，

∵△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，

∴DE2＝CE2+CD2，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴DE＝AD，

∴2AD2＝BD2+CD2；

（3）如圖3，將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AG，連接CG、DG，

則△DAG是等腰直角三角形，

∴∠ADG＝45°，

∵∠ADC＝45°，

∴∠GDC＝90°，

同理得：△BAD≌△CAG，

∴CG＝BD＝6，

Rt△CGD中，∵CD＝2，

∴DG＝4，

∵△DAG是等腰直角三角形，

∴AD＝AG＝4．