Question

如圖，△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點O，過點O作OE⊥BC于E點，求證：∠BOD=∠COE．

Answer 1

證明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°-（∠DAC+∠AF0）
=180°-[∠BAC+∠ABC+∠ACB]
=180°-[（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+∠ACB]
=90°-∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°-∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°-∠OCD=90°-∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．
分析：在△AOF中，利用三角形的內(nèi)角和定理，以及角平分線的定義，可以利用∠ACB表示出∠AOF，則∠BOD即可得到，然后在直角△OCE中，利用直角三角形的兩個內(nèi)角互余以及角平分線的定義，即可利用∠ACB表示出∠COE，從而證得結(jié)論．
點評：本題主要考查了角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，正確求得∠AOF是關鍵．