【題目】如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)P是CD的中點(diǎn),∠BCD=60°,射線AP交BC的延長線于點(diǎn)E,射線BP交DE于點(diǎn)K,點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),作BM⊥AE于點(diǎn)M,作KN⊥AE于點(diǎn)N,連結(jié)MO、NO,以下四個(gè)結(jié)論:①△OMN是等腰三角形;②tan∠OMN=;③BP=4PK;④PMPA=3PD2,其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】試題分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等,根據(jù)全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP,由相似三角形的性質(zhì)得到AD=CE,作PI∥CE交DE于I,根據(jù)點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)證明CE=2PI,BE=4PI,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=,得到BP=3PK,故③錯(cuò)誤;作OG⊥AE于G,根據(jù)平行線等分線段定理得到MG=NG,又OG⊥MN,證明△MON是等腰三角形,故①正確;根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出∠OMN=,故②正確;然后根據(jù)射影定理和三角函數(shù)即可得到PMPA=3PD2,故④正確.
解:作PI∥CE交DE于I,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AD∥BC,
∴∠DAP=∠CEP,∠ADP=∠ECP,
在△ADP和△ECP中,
,
∴△ADP≌△ECP,
∴AD=CE,
則,又點(diǎn)P是CD的中點(diǎn),
∴=,
∵AD=CE,
∴=,
∴BP=3PK,
故③錯(cuò)誤;
作OG⊥AE于G,
∵BM丄AE于M,KN丄AE于N,
∴BM∥OG∥KN,
∵點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),
∴MG=NG,又OG⊥MN,
∴OM=ON,
即△MON是等腰三角形,故①正確;
由題意得,△BPC,△AMB,△ABP為直角三角形,
設(shè)BC=2,則CP=1,由勾股定理得,BP=,
則AP=,
根據(jù)三角形面積公式,BM=,
∵點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),
∴PB=3PO,
∴OG=BM=,
MG=MP=,
tan∠OMN==,故②正確;
∵∠ABP=90°,BM⊥AP,
∴PB2=PMPA,
∵∠BCD=60°,
∴∠ABC=120°,
∴∠PBC=30°,
∴∠BPC=90°,
p>∴PB=PC,∵PD=PC,
∴PB2=3PD,
∴PMPA=3PD2,故④正確.
故選B.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(3,﹣2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A. (3,2) B. (3,﹣2) C. (﹣3,2) D. (﹣3,﹣2)
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【題目】如圖,ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC⊥AB,AB=2,且AC∶BD=2∶3.求:
(1)AC的長;
(2)△AOD的面積.
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【題目】太陽的溫度很高,其表面溫度大概有6 000℃,而太陽中心的溫度達(dá)到了19 200 000℃,用科學(xué)記數(shù)法可將19 200 000表示為( )
A.1.92×106
B.1.92×107
C.1.92×108
D.1.92×109
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【題目】已知拋物線C1:y=ax2+bx+(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和B(3,0).
(1)求拋物線C1的解析式,并寫出其頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖1,把拋物線C1沿著直線AC方向平移到某處時(shí)得到拋物線C2,此時(shí)點(diǎn)A,C分別平移到點(diǎn)D,E處.設(shè)點(diǎn)F在拋物線C1上且在x軸的下方,若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形,求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)如圖2,在(2)的條件下,設(shè)點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),EN⊥EM交直線BF于點(diǎn)N,點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí):
①tan∠ENM的值如何變化?請(qǐng)說明理由;
②點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí),直接寫出點(diǎn)P經(jīng)過的路線長.
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