Question

【題目】已知拋物線分別是中的對邊。

（1）求證：該拋物線與軸必有兩個交點(diǎn)；

（2）設(shè)拋物線與軸的兩個交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為 ，已知的周長為，求拋物線的解析式；

（3）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，若拋物線的對稱軸為與的面積之比為，試判斷三角形的形狀，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）等邊三角形.

【解析】

（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式和三角形的三邊關(guān)系可得，即方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

（2）利用周長的和為10，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)比上拋物線與x軸的右邊交點(diǎn)橫坐標(biāo)與頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的差的值為正切值；解方程組求出（a+b）的值和c的值；代入解析式即可

（3）聯(lián)立方程組可得，如圖，設(shè)，根據(jù)三角形的面積關(guān)系可得，結(jié)合韋達(dá)定理可得，所以三角形是等邊三角形.

（1）證明：在關(guān)于的一元二次方程中，

，

是的邊長， ，

，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

拋物線與軸必有兩個交點(diǎn)

（2）解：由，得，

設(shè)拋物線的對稱軸交軸于，如圖， 則，

由，

得，

解得，則，

拋物線的解析式為： ，

（3）解：由，

得，

由題意，得，

則，

如圖，設(shè)，

由，得，

，

由（3）得或，

由（2）得，

，

由（1）得，即，

，

為等邊三角形.