【題目】已知拋物線(是常數(shù))與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
①求當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在直線上時(shí),求的值;
②當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在第一象限內(nèi),取得最小值時(shí),求的值及這個(gè)最小值.
【答案】(Ⅰ),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ; (Ⅱ)①的值為或;②的值為,的最小值為
【解析】
(Ⅰ)用待定系數(shù)法求出b、c即可得出解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)①先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,由于點(diǎn)P’與點(diǎn)P(m,t)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故點(diǎn)P’的坐標(biāo)為(-m,-t),將其代入直線BC解析式,即可求解;
②點(diǎn)P’落在第一象限可得m<0,t<0,連接AP’,過(guò)點(diǎn)P’作P’H⊥x軸于點(diǎn)H,則H(-m,0),可得在Rt△P’AH中,,可以得到的長(zhǎng)度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,通過(guò)配方法可以求出的最小值.
(Ⅰ)∵拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)C(0,-3),
∴,解得.
∴拋物線的解析式為
∵,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4).
(Ⅱ)①由(Ⅰ)可知與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3).
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k0),
∴.解得.
∴直線BC的解析式為y=x-3.
∵點(diǎn)P’與點(diǎn)P(m,t)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴點(diǎn)P’的坐標(biāo)為(-m,-t).
∵點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P’ (-m,-t)落在直線BC上,
∴-t=-m-3,即t=m+3.
∵點(diǎn)P(m,t)在拋物線上,∴.
∴.解得或.
∴的值為或.
②∵點(diǎn)P(m,t)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P’ (-m,-t)落在第一象限內(nèi),
∴-m>0,-t>0,即m<0,t<0.
∵點(diǎn)P(m,t)在拋物線上,∴..
∴
連接AP’,過(guò)點(diǎn)P’作P’H⊥x軸于點(diǎn)H,則H(-m,0).
∵A(-1,0),∴.
∵在Rt△P’AH中,,
∴,
∵1>0,∴當(dāng)時(shí),有最小值.
∴,
解得或(舍去),
∴的值為,的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=36°,AC=AB=2,將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△DBE,使點(diǎn)E在邊AC上,DE交AB于點(diǎn)F,則△AFE與△DBF的面積之比等于( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上,且EC=2AE,Rt△FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,則重疊部分四邊形EMCN的面積為( 。
A.24B.9C.20D.16
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【題目】拋物線的頂點(diǎn)為,與直線相交于點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.
(Ⅰ)若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)是否存在的值,使得點(diǎn)到軸距離等于點(diǎn)到直線距離的一半,若存在,請(qǐng)直接寫出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)將的函數(shù)圖象記為圖象,圖象關(guān)于直線的對(duì)稱圖象記為圖象,圖象與圖象組合成的圖象記為.
①當(dāng)與軸恰好有三個(gè)交點(diǎn)時(shí),求的值:
②當(dāng)為等邊三角形時(shí),直接寫出所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0時(shí),自變量的取值范圍.
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【題目】某市開(kāi)展“美麗家鄉(xiāng),創(chuàng)衛(wèi)同行”活動(dòng),某校倡議學(xué)生利用雙休日參加義務(wù)勞動(dòng),為了解同學(xué)們勞動(dòng)情況,學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的勞動(dòng)時(shí)間,并用得到的數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②,請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問(wèn)題:
(Ⅰ)本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 ,圖①中的值是 ;
(Ⅱ)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).
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【題目】根據(jù)《居民家庭親子閱讀消費(fèi)調(diào)查報(bào)告》中的相關(guān)數(shù)據(jù)制成扇形統(tǒng)計(jì)圖,由圖可知,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.扇形統(tǒng)計(jì)圖能反映各部分在總體中所占的百分比
B.每天閱讀30分鐘以上的居民家庭孩子超過(guò)50%
C.每天閱讀1小時(shí)以上的居民家庭孩子占20%
D.每天閱讀30分鐘至1小時(shí)的居民家庭孩子對(duì)應(yīng)扇形的圓心角是108°
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【題目】在圖1,2,3中,已知,,點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn),連接,以為邊向上作菱形,且.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),________°;
(2)如圖2,連接.
①填空:_________(填“>”,“<”,“=”);
②求證:點(diǎn)在的平分線上;
(3)如圖3,連接,,并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),求的值.
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【題目】拋物線(b,c為常數(shù))與x軸交于點(diǎn)和,與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)E為拋物線頂點(diǎn)。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)A,點(diǎn)E的坐標(biāo);
(Ⅱ)若頂點(diǎn)E在直線上,當(dāng)點(diǎn)A位置最高時(shí),求拋物線的解析式;
(Ⅲ)若,當(dāng)滿足值最小時(shí),求b的值。
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠AOC=60°,則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為 .
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