Question

【題目】根據(jù)要求回答問題：
（1）發(fā)現(xiàn)
如圖1，直線l1∥l2 ， l1和l2的距離為d，點(diǎn)P在l1上，點(diǎn)Q在l2上，連接PQ，填空：PQ長(zhǎng)度的最小值為.

（2）應(yīng)用
如圖2，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，點(diǎn)M在線段AD上，AM=3MD，點(diǎn)N在直線BC上，連接MN，求MN長(zhǎng)度的最小值

（3）拓展
如圖3，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，點(diǎn)M在線段AD上任意一點(diǎn)，連接MC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使MC=CE，以MB和ME為邊作平行四邊形MBNE，請(qǐng)直接寫出線段MN長(zhǎng)度的最小值

Answer 1

【答案】
（1）d
（2）解：如圖2，

∵AD=4，AM=3DM，

∴AM=3，DM=1，

延長(zhǎng)AD、BC交于E，

當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN的值最小，

∵DC∥AB，

∴△EDC∽△EAB，

∴ ，

∴ ，

∴ED=2，

∴ED=DC=2，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴∠E=45°，

∴△EMN是等腰直角三角形，

∵EM=3，

∴MN= =

（3）解：當(dāng)MN⊥AD時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，

∴MN∥DC∥AB，

∴∠DCM=∠CMN=∠MNB=∠NBH，

設(shè)MN與BC相交于點(diǎn)G，

∵M(jìn)E∥BN，MC=CE，

∴ ，

∴G是BC上一定點(diǎn)，

作NH⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于H，

∵∠D=∠H=90°，

∴Rt△MDC∽R(shí)t△NHB，

即 = ，

∴BH=2DC=4，

∴AH=AB+BH=6+4=10，

∴當(dāng)MN⊥AD時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，即為10；

則線段MN長(zhǎng)度的最小值為10

【解析】解：（1）∵直線l1∥l2，l1和l2的距離為d，

∴PQ長(zhǎng)度的最小值為d；

所以答案是：d；

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．