Question

關(guān)于x的方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，求整數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：先要討論k的取值確定方程，（1）k=0，方程為一元一次方程，顯然有有理根；（2）k≠0，方程為一元二次方程，要有理根，則△=（k-1）²-4k=k²-6k+1必為完全平方數(shù)，可設(shè)k²-6k+1=m²（m非負(fù)整數(shù)），變形為：（k-3+m）（k-3-m）=8，然后利用m，k都為整數(shù)，運(yùn)用整數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程組求解即可．
解答：解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，x=-1，方程有有理根．

（2）當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)榉匠逃杏欣砀��?br />所以若k為整數(shù)，則△=（k-1）²-4k=k²-6k+1必為完全平方數(shù)，
即存在非負(fù)整數(shù)m，使k²-6k+1=m²．
配方得：（k-3+m）（k-3-m）=8，
由k-3+m和k-3-m是奇偶相同的整數(shù)，其積為8，
所以它們均是偶數(shù)．又k-3+m≥k-3-m．
從而或
解得k=6或k=0（舍去），綜合（1）（2），
所以方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，整數(shù)k的值為0或6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△為完全平方數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)有理數(shù)根；同時(shí)整數(shù)的奇偶性和整除的性質(zhì)以及二元一次方程組的解法．