Question

20．如圖，BE，CD相交于點(diǎn)A，∠DEA、∠BCA的平分線相交于F
（1）如果∠B=32°，∠D=38°，求∠F的度數(shù)；
（2）求證：∠F=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

Answer 1

分析 （1）在△ABC和△ADE中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠ACB和∠AED的關(guān)系，然后根據(jù)角平分線的定義表示出∠BCF和∠BEF，然后再次利用三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（2）在△ABC和△ADE中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠ACB和∠AED的關(guān)系，然后根據(jù)角平分線的定義表示出∠BCF和∠BEF，然后再次利用三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得證．

解答 （1）解：在△ABC和△ADE中，∠B+∠ACB=∠D+∠AED，
∵∠B=32°，∠D=38°，
∴32°+∠ACB=38°+∠AED，
∴∠ACB=6°+∠AED，
∵∠DEA、∠BCA的平分線相交于F，
∴∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BEF=$\frac{1}{2}$∠AED，
∵∠F+∠BEF=∠B+∠BCF，
∴∠F+$\frac{1}{2}$∠AED=32°+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠F+$\frac{1}{2}$∠AED=32°+$\frac{1}{2}$（∠AED+6°），
解得∠F=35°；

（2）證明：在△ABC和△ADE中，∠B+∠ACB=∠D+∠AED，
∵∠DEA、∠BCA的平分線相交于F，
∴∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BEF=$\frac{1}{2}$∠AED，
∵∠F+∠BEF=∠B+∠BCF，
∴∠F+$\frac{1}{2}$∠AED=∠B+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠F+$\frac{1}{2}$∠AED=∠B+$\frac{1}{2}$（∠AED+∠D-∠B），
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，根據(jù)“八字形”圖形的對(duì)頂角相等利用三角形的內(nèi)角和定理列出等式是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．