Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段AB及點(diǎn)P，給出如下定義：

若點(diǎn)P滿足PA=PB，則稱(chēng)P為線段AB的“軸點(diǎn)”，其中，當(dāng)0°＜∠APB＜60°時(shí)，稱(chēng)P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；當(dāng)60°≤∠APB≤180°時(shí)，稱(chēng)P為線段AB的“近軸點(diǎn)”.

(1)如圖1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(2，0)，則在，，， 中，線段AB的“近軸點(diǎn)”是 .

(2)如圖2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且∠OAB=30°.

①若P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的取值范圍 ；

②點(diǎn)C為y軸上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合且BC≠AB)，若Q為線段AB的“軸點(diǎn)”，當(dāng)線段QB與QC的和最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)P2 , P3；(2)t＜0或t＞3；(3)當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，0)時(shí)，線段QB與QC的和最小．

【解析】

（1）利用近軸點(diǎn)的意義即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)遠(yuǎn)軸點(diǎn)的定義通過(guò)圖像判斷即可；②根據(jù)題意，點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線l上，將情況分為點(diǎn)B，C在l的同側(cè)以及在l的異側(cè)進(jìn)行討論：當(dāng)B，C在l的同側(cè)時(shí)，易知當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，Q為AO與直線l的交點(diǎn)時(shí)，QB＋QC最小，根據(jù)30°角的三角函數(shù)關(guān)系得到QC與BQ的關(guān)系，再根據(jù)OA＝QC＋AQ＝QC＋BQ＝3列方程求出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可；當(dāng)B，C在l的異側(cè)時(shí)，顯然QB+QC＞3，即可得到答案．

(1)P2 , P3．

(2)①t＜0或t＞3．

②根據(jù)題意，點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線l上．

當(dāng)點(diǎn)B，C在直線l的同側(cè)時(shí)，

對(duì)于滿足題意的點(diǎn)C的每一個(gè)位置，都有QB+QC=QA+QC．

∵QA+QC≥AC，AC≥AO

∴當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，Q為AO 與直線l交點(diǎn)時(shí)，QB+QC最�。�

∵∠OAB=30°，AQ=BQ，

∴∠QBA=∠QBO=30°．

∴OQ=BQ．

在Rt△BOQ中，設(shè)OQ=x，則AQ=BQ=2x．

∴3x=3．

解得 x=1．

∴Q(1，0)．

當(dāng)點(diǎn)B，C在直線l的異側(cè)時(shí)，QB+QC＞3．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，0)時(shí)，線段QB與QC的和最�。�