Question

【題目】如圖，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，點P為線段BE延長線上一點，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD，線段BE與CD相交于點F．

（1）求證：；

（2）連接BD，請你判斷AC與BD有什么位置關(guān)系？并說明理由；

（3）若PE＝1，求△PBD的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) AC∥BD，理由見解析;(3)

【解析】

（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出△PCE∽△DCB，進(jìn)而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC與BD的位置關(guān)系；
（3）首先利用相似三角形的性質(zhì)表示出BD，PM的長，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式得到△PBD的面積．

（1）證明：∵△BCE和△CDP均為等腰直角三角形，

∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，

∴△BCE∽△DCP，

∴；

（2）解：結(jié)論：AC∥BD，

理由：∵∠PCE+∠ECD＝∠BCD+∠ECD＝45°，

∴∠PCE＝∠BCD，

又∵，

∴△PCE∽△DCB，

∴∠CBD＝∠CEP＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CBD，

∴AC∥BD；

（3）解：如圖所示：作PM⊥BD于M，

∵AC＝4，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，

∴BE＝CE＝4，

∵△PCE∽△DCB，

∴，即，

∴BD＝，

∵∠PBM＝∠CBD﹣∠CBP＝45°，BP＝BE+PE＝4+1＝5，

∴PM＝5sin45°＝

∴△PBD的面積S＝BDPM＝××＝．