【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB6cm,BC12cm,點P從點A出發(fā)沿AB1cm/s的速度向點B移動;同時,點Q從點B出發(fā)沿BC2cm/s的速度向點C移動.設運動時間為t.

1)當t2時,△DPQ的面積為 cm2;

2)在運動過程中△DPQ的面積能否為26cm2?如果能,求出t的值,若不能,請說明理由;

3)運動過程中,當 AP、QD四點恰好在同一個圓上時,求t的值;

4)運動過程中,當以Q為圓心,QP為半徑的圓,與矩形ABCD的邊共有4個交點時,直接寫出t的取值范圍.

【答案】128;(2)△DPQ的面積不可能為26cm2;(3t6A、P、QD四點恰好在同一個圓上;(4)當t時,⊙Q與矩形ABCD的邊共有四個交點.

【解析】

1)根據(jù)運動速度表示出長度,然后計算出三個直角三角形面積,再由矩形面積減去三個直角三角形面積就能得到△DPQ的面積;

2)根據(jù)(1)總得出的面積計算方式,列出關(guān)于t的方程,通過判斷方程有無解來即可判斷;

3)△DAP是直角三角形如果它的三個頂點都在圓上,可得DP是直徑,Q也要在圓上,那么△DQP也是直角三角形,通過勾股定理用t表示出DP、PQ、DQ,再由DP=PQ+DQ列出方程求解即可;

4)判斷出⊙Q與邊AD相切和⊙QD點是從有4個交點變成3個交點的時刻,再根據(jù)半徑相等列出關(guān)于t的方程求解.

由題意得AP=BQ=

PB=AB-AP=6-2=4,CQ=CB-BQ=12-4=8

==,=

=---=72-12-8-24=28(cm2)

2)法一:根據(jù)題意得

=

整理得

b24ac=-40

∴方程無實數(shù)根

∴△DPQ的面積不可能為26cm2

法二:

=

t3時,△DPQ的面積有最小值為27 cm2

∴△DPQ的面積不可能為26cm2

3)∵∠A90°

A、P、D三點在以DP為直徑的圓上

若點Q也在圓上,則∠PQD90°

PQ2(6t)2(2t)2,DQ262(122t)2DP2t2122

PQ2DQ2 DP2,∠PQD90°

(6t)2(2t)262(122t)2 t2122

解得t16,t2

t6A、P、Q、D四點恰好在同一個圓上.

4)如右圖1,

Q與邊AD相切

過點QQEAD

∵⊙Q與邊AD相切

QEQP

62(6t)2(2t)2

解得t10(舍去),t2

如右圖2,

Q與過點D

QDQP

(6t)2(2t)262(122t)2

(舍去)

∴當t時,⊙Q與矩形ABCD

邊共有四個交點.

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