【題目】如圖,頂點(diǎn)M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2,連結(jié)AM、BM.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)判斷△ABM的形狀,并說明理由;
(3)把拋物線與直線y=x的交點(diǎn)稱為拋物線的不動(dòng)點(diǎn).若將(1)中拋物線平移,使其頂點(diǎn)為(m,2m),當(dāng)m滿足什么條件時(shí),平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn).
【答案】(1)拋物線解析式為y=x2﹣1;
(2)△ABM為直角三角形,理由見解析;
(3)當(dāng)m≤時(shí),平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn).
【解析】
試題分析:(1)由條件可分別求得A、B的坐標(biāo),設(shè)出拋物線解析式,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)結(jié)合(1)中A、B、C的坐標(biāo),根據(jù)勾股定理可分別求得AB、AM、BM,可得到AB2+AM2=BM2,可判定△ABM為直角三角形;
(3)由條件可寫出平移后的拋物線的解析式,聯(lián)立y=x,可得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)根的判別式可求得m的范圍.
試題解析:(1)∵A點(diǎn)為直線y=x+1與x軸的交點(diǎn),∴A(﹣1,0),又B點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,代入y=x+1可求得y=3,∴B(2,3),∵拋物線頂點(diǎn)在y軸上,∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c,
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得,解得,∴拋物線解析式為y=x2﹣1;
(2)△ABM為直角三角形.理由如:
由(1)拋物線解析式為y=x2﹣1可知M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣1),∴AM=,AB=3,BM=2,
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2,∴△ABM為直角三角形;
(3)當(dāng)拋物線y=x2﹣1平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2m)時(shí),其解析式為y=(x﹣m)2+2m,即y=x2﹣2mx+m2+2m,
聯(lián)立y=x,可得,消去y整理可得x2﹣(2m+1)x+m2+2m=0,
∵平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn),
∴方程x2﹣(2m+1)x+m2+2m=0總有實(shí)數(shù)根,
∴△≥0,即(2m+1)2﹣4(m2+2m)≥0,
解得m≤,即當(dāng)m≤時(shí),平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn).
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C. 4 D. -4
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