Question

【題目】在△ABC中，AB＝12，AC＝BC＝10，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，連接BD，BE．

（1）如圖，當(dāng)α＝60°時(shí)，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F．

①求證：△ABD是等邊三角形；

②求證：BF⊥AD，AF＝DF；

③請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．

（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)D作DG垂直于直線(xiàn)AB，垂足為G，連接CE，當(dāng)∠DAG＝∠ACB，且線(xiàn)段DG與線(xiàn)段AE無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE＋CE的值．

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；③ BE＝6－8；（2）BE＋CE＝26 ．

【解析】

（1）①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AB=AD，∠BAD=60°即可得證；

②由BA=BD、EA=ED根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得證；

③分別求出BF、EF的長(zhǎng)即可得；

（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根據(jù)三線(xiàn)合一可得CE⊥AB、AC=10、AH=6，繼而知CE=2CH=16、BE=10，即可得答案．

（1）①∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°得到△ADE，

∴AB=AD，∠BAD=60°，

∴△ABD是等邊三角形；

②由①得△ABD是等邊三角形，

∴AB=BD，

∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°得到△ADE，

∴AC=AE，BC=DE，

又∵AC=BC，

∴EA=ED，

∴點(diǎn)B、E在AD的線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上，

∴BE是AD的線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，

∵點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

∴BF⊥AD，AF=DF；

③由②知BF⊥AD，AF=DF，

∴AF=DF=6，

∵AE=AC=10，

∴EF=8，

∵在等邊三角形ABD中，BF=，

∴BE=BF﹣EF=；

（2）如圖所示，

∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，

∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，

又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，

∴∠BAE=∠ABC，

∵AC=BC=AE，

∴∠BAC=∠ABC，

∴∠BAE=∠BAC，

∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，

∵AC=BC，

∴AH=BH=AB=6，

∴CH=

則CE=2CH=16，BE=10，

∴BE+CE=10+16=26．