【題目】拋物線y=﹣x2x+x軸交于點A,B(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.

(1)如圖1,連接CD,求線段CD的長;

(2)如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點,PFx軸于點F,PF與線段AC交于點E;將線段OB沿x軸左右平移,線段OB的對應(yīng)線段是O1B1,當(dāng)PE+EC的值最大時,求四邊形PO1B1C周長的最小值,并求出對應(yīng)的點O1的坐標(biāo);

(3)如圖3,點H是線段AB的中點,連接CH,將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置,再將△O2B2C繞點B2旋轉(zhuǎn)一周在旋轉(zhuǎn)過程中,點O2,C的對應(yīng)點分別是點O3,C1,直線O3C1分別與直線AC,x軸交于點M,N.那么,在△O2B2C的整個旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢茫埂?/span>AMN是以MN為腰的等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)(3),O2M的長

【解析】

(1)分別表示CD的坐標(biāo),利用勾股定理可得CD的長;

(2)令y=0,可求得A(-3,0),B(,0),利用待定系數(shù)法可計算直線AC的解析式為:y=x+,設(shè)E(x,x+),P(x,x2x+),表示PE的長,利用勾股定理計算AC的長,發(fā)現(xiàn)∠CAO=30°,得AE=2EF=x+2,計算PE+EC,利用配方法可得當(dāng)PE+EC的值最大時,x=-2,此時P(-2,),確定要使四邊形PO1B1C周長的最小,即PO1+B1C的值最小,將點P向右平移個單位長度得點P1(-,),連接P1B1,則PO1=P1B1,再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2(-,-),可得結(jié)論;

(3)先確定對折后O2C落在AC上,△AMN是以MN為腰的等腰三角形存在四種情況:

①如圖4,AN=MN,證明△C1EC≌△B2O2M,可計算O2M的長;

②如圖5,AM=MN,此時MC重合,O2M=O2C=;

③如圖6,AM=MN,NH、C1重合,可得結(jié)論;

④如圖7,AN=MN,過C1C1E⊥ACE證明四邊形C1EO2B2是矩形,根據(jù)O2M=EO2+EM可得結(jié)論.

(1)如圖1,過點DDK⊥y軸于K,

當(dāng)x=0時,y=,

∴C(0,),

y=x2x+=-,

∴D(-,),

∴DK=,CK=-=

∴CD=;

(2)在y=-x2x+中,令y=0,則-x2x+=0,

解得:x1=-3,x2=

∴A(-3,0),B(,0),

∵C(0,),

易得直線AC的解析式為:y=x+,

設(shè)E(x,x+),P(x,-x2x+),

∴PF=-x2x+,EF=x+

Rt△ACO中,AO=3,OC=

∴AC=2,

∴∠CAO=30°,

∴AE=2EF=x+,

∴PE+EC=(-x2x+)-(x+)+(AC-AE),

=-x2-x+ [2-(x+)],

=-x2-x-x,

=-(x+22+

∴當(dāng)PE+EC的值最大時,x=-2,此時P(-2,),

∴PC=2,

∵O1B1=OB=,

∴要使四邊形PO1B1C周長的最小,即PO1+B1C的值最小,

如圖2,將點P向右平移個單位長度得點P1(-),連接P1B1,則PO1=P1B1,

再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2(-,-),則P1B1=P2B1,

∴PO1+B1C=P2B1+B1C,

∴連接P2Cx軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1,

∴B1(-,0),

B1向左平移個單位長度即得點O1,

此時PO1+B1C=P2C=

對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)為(-,0),

∴四邊形PO1B1C周長的最小值為;

(3)O2M的長度為2+2-

理由是:如圖3,

∵HAB的中點,

∴OH=,

∵OC=,

∴CH=BC=2,

∴∠HCO=∠BCO=30°,

∵∠ACO=60°,

∴將CO沿CH對折后落在直線AC上,即O2AC上,

∴∠B2CA=∠CAB=30°,

∴B2C∥AB,

∴B2(-2),

①如圖4,AN=MN,

∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,

由旋轉(zhuǎn)得:∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1,

∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°,

C1C1E⊥B2CE,

∵B2C=B2C1=2,

C1E=B2O2,B2E=,

∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1

∠B2O2M=∠C1EC=90°,

∴△C1EC≌△B2O2M,

∴O2M=CE=B2C-B2E=2-

②如圖5,AM=MN,此時MC重合,O2M=O2C=,

③如圖6,AM=MN,

∵B2C=B2C1=2=B2H,即NH、C1重合,

∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°,

∴O2M=AO2=;

④如圖7,AN=MN,過C1C1E⊥ACE,

∴∠NMA=∠NAM=30°,

∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA,

∴C1B2∥AC,

∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°,

∵∠C1EC=90°,

∴四邊形C1EO2B2是矩形,

∴EO2=C1B2=2,C1EB2O2

∴EM=,

∴O2M=EO2+EM=2+

綜上所述,O2M的長是2+2

練習(xí)冊系列答案
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②請?zhí)骄烤段ACADBE之間的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并證明;

(2)如圖2,當(dāng)點C在射線AN的反向延長線上時,BC交射線AM于點F,若AB=4,AC=,請直接寫出線段ADDF的長.

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