Question

如圖，正比例函數(shù)y=k₁x與反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象交于A、D兩點(diǎn)，由點(diǎn)A向x軸作垂線，垂足為C，點(diǎn)B為點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)B恰好落在y軸上，
（1）則k₁=

 

；
（2）連接CD，則△COD的面積是

 

；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△CDP為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B、C關(guān)于直線AD對(duì)稱，且點(diǎn)BC分別在y軸于x軸上，故可得出直線AD的解析式，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）先求出AD兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△COD=

1

2

×|x_A|×|y_D|即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得出PD²，PC²及DC²的值，再根據(jù)∠CDP=90°，∠DCP=90°和∠APD=90°三種情況討論．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B、C關(guān)于直線AD對(duì)稱，且點(diǎn)BC分別在y軸于x軸上，
∴直線AD的解析式為y=x，
∴k₁=1．
故答案為：1；

（2）∵正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象交于A、D兩點(diǎn)，
∴

y=x y= 4 x

，
解得

x=2 y=2

或

x=-2 y=-2

，
∴A（2，2），D（-2，-2），
∴C（2，0），
∴S_△ODC=

1

2

×|x_A|×|y_D|=2；
故答案為：2；

（4）設(shè)P（0，y），
∵C（2，0），D（-2，-2），
∴PD²=4+（y+2）²，
PC²=4+y²，
DC²=20，
當(dāng)∠PDC=90°時(shí)，CD²+DP²=PC²即20+4+（y+2）²=4+y²，解得y=-6，
∴P₁（0，-6）；
當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，PC²+CD²=PD²，即4+y²+20=4+（y+2）²，解得y=4，
∴P₂（0，4），
當(dāng)∠DPC=90°則PC²+PD²=CD²，即4+y²+4+（y+2）²=20，解得y=-1±

5

，
∴P₃（0，-1+

5

），P₄（0，-1-

5

）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（0，-6），P₂（0，4），P₃（0，-1+

5

），P₄（0，-1-

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)圖綜合題，熟知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是解答此題的關(guān)鍵．