Question

7．如圖，已知△ABC中，∠C=90°，D是斜邊AB的中點，點E、F分別在AC、BC上，且DE⊥DF，連接EF．
（1）猜想AE、BF、EF之間存在何種等量關系，并證明你的結論；
（2）如圖2，若點E、F分別在AC、CB的延長線上，其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？若不成立，寫出你認為正確的結論．

Answer 1

分析 （1）過點A作AM∥BC，交FD的延長線與點M，證△ADM≌△BDF得AM=BF、DM=DF，又∠EDF=90°根據中垂線性質知ED=EF，在RT△EAM中根據勾股定理可得；
（2）過點A作AN∥BF，交FD延長線與點N，連接EN、EF，證△ADN≌△BDF得BF=AN、DN=DF，又∠EDF=90°根據中垂線性質知EF=EN，在RT△AEN中由勾股定理可得．

解答 解：（1）AE²+BF²=EF²，
如圖1，過點A作AM∥BC，交FD的延長線與點M，

∴∠AMD=∠BFD，∠ADM=∠BDF，
∵∠C=90°，
∴∠EAM=90°，
又∵RT△ABC中，∠C=90°，D是斜邊AB的中點，
∴AD=BD，
在△ADM和△BDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠BFD}\\{∠ADM=∠BDF}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDF（AAS），
∴AM=BF，DM=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴ED=EF，
∵在RT△EAM中，AE²+AM²=EM²，
∴AE²+BF²=EF²；
（2）（1）中結論依然成立，
如圖2，過點A作AN∥BF，交FD延長線與點N，連接EN、EF，

∴∠NAD=∠FBD，∠ADN=∠BDF，
∵AN∥BF，∠ACB=90°，D為斜邊AB中點，
∴∠NAE=90°，AD=BD，
在△ADN和△BDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠NAD=∠FBD}\\{AD=BD}\\{∠ADF=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△BDF（ASA），
∴BF=AN，DN=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴EF=EN，
在RT△AEN中，∵AN²+AE²=NE²，
∴BF²+AE²=EF²．

點評 本題主要考查三角形全等的判定和性質，過點A作BF的平行線來構建全等三角形是關鍵．