Question

1．如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（8，8），將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點G，ED的延長線交線段OA于點H，連CH、CG．
（1）求證：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度數(shù)；判斷線段HG、OH、BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請求出點H的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求證全等，觀察兩個三角形，發(fā)現(xiàn)都有直角，而CG為公共邊，進而再鎖定一條直角邊相等即可，因為其為正方形旋轉(zhuǎn)得到，所以邊都相等，即結(jié)論可證．
（2）根據(jù)（1）中三角形全等可以得到對應(yīng)邊、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一問的思路容易發(fā)現(xiàn)△CDH≌△COH，也有對應(yīng)邊、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH為$\frac{1}{2}$四角的和，四角恰好組成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．
（3）四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．由上幾問知DG=BG，所以此時同時滿足DG=AG=EG=BG，即四邊形AEBD為矩形．求H點的坐標，可以設(shè)其為（x，0），則OH=x，AH=6-x．而BG為AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三邊都可以用含x的表達式表達，那么根據(jù)勾股定理可列方程，進而求出x，推得H坐標．

解答 （1）證明：∵正方形ABCO繞點C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF，
∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．
在Rt△CDG和Rt△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}CD=CB\\ CG=CG\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBG（HL）；

（2）解：∵△CDG≌△CBG，
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．
在Rt△CHO和Rt△CHD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}CH=CH\\ OC=CD\end{array}\right.$，
∴△CHO≌△CHD（HL），
∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，
∴∠HCG=∠HCD+∠GCD=$\frac{1}{2}$∠OCD+$\frac{1}{2}$∠DCB=$\frac{1}{2}$∠OCB=45°，
∴HG=HD+DG=HO+BG；

（3）解：四邊形AEBD可為矩形．
如圖，連接BD、DA、AE、EB，四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．
∵DG=BG，
∴DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形，
∴當G點為AB中點時，四邊形AEBD為矩形．
∵四邊形DAEB為矩形，
∴AG=EG=BG=DG．
∵AB=8，
∴AG=BG=4．
設(shè)H點的坐標為（x，0），則HO=x
∵OH=DH，BG=DG，
∴HD=x，DG=4．
在Rt△HGA中，
∵HG=x+4，GA=4，HA=8-x，
∴（x+4）²=4²+（8-x）²，解得x=$\frac{8}{3}$．
∴H點的坐標為（$\frac{8}{3}$，0）．

點評 本題考查的是四邊形綜合題，涉及到三角形全等的相關(guān)知識，最后一問屬于動點題，解題時一定要先畫適當?shù)妮o助線將所問圖象表示出來，這樣思考問題方向感相對明確些，此類題目中前問結(jié)論與后問思路往往有著緊密聯(lián)系，要巧用這個技巧來思考問題，往往事半功倍．