【題目】如圖,已知點(diǎn)A(3,0),以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B,過B作⊙A的切線l.
(1)以直線l為對(duì)稱軸的拋物線過點(diǎn)A及點(diǎn)C(0,9),求此拋物線的解析式;
(2)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,過D作⊙A的切線DE,E為切點(diǎn),求此切線長(zhǎng);
(3)點(diǎn)F是切線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△BFD與△EAD相似時(shí),求出BF的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
(3)BF的長(zhǎng)為或.
【解析】
試題分析:(1)已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式,然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可.
(2)由于DE是⊙A的切線,連接AE,那么根據(jù)切線的性質(zhì)知AE⊥DE,在Rt△AED中,AE、AB是圓的半徑,即AE=OA=AB=3,而A、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,即AB=BD=3,由此可得到AD的長(zhǎng),進(jìn)而可利用勾股定理求得切線DE的長(zhǎng).
(3)若△BFD與EAD△相似,則有兩種情況需要考慮:①△AED∽△BFD,②△AED∽△FBD,根據(jù)不同的相似三角形所得不同的比例線段即可求得BF的長(zhǎng).
試題解析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣6)2+k;
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)和C(0,9),
∴,
解得:,
∴.
(2)連接AE;
∵DE是⊙A的切線,
∴∠AED=90°,AE=3,
∵直線l是拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)A,D是拋物線與x軸的交點(diǎn),
∴AB=BD=3,
∴AD=6;
在Rt△ADE中,DE2=AD2﹣AE2=62﹣32=27,
∴.
(3)當(dāng)BF⊥ED時(shí);
∵∠AED=∠BFD=90°,∠ADE=∠BDF,
∴△AED∽△BFD,
∴,
即,
∴;
當(dāng)FB⊥AD時(shí),
∵∠AED=∠FBD=90°,∠ADE=∠FDB,
∴△AED∽△FBD,
∴,
即;
∴BF的長(zhǎng)為或.
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①求出函數(shù)解析式;
②設(shè)點(diǎn)P是該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),若OD=OP,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ;若以D、O、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 個(gè).
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【題目】AD是△ABC的角平分線且交BC于D,過點(diǎn)D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,則下列結(jié)論不一定正確的是( )
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是斜邊AB上的中點(diǎn),E是邊BC上的點(diǎn),AE與CD交于點(diǎn)F,且AC2=CECB.
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(2)連接BF,如果點(diǎn)E是BC中點(diǎn),求證:∠EBF=∠EAB.
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【題目】一個(gè)正方形的側(cè)面展開圖有( )個(gè)全等的正方形.
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