Question

如圖所示：已知四邊形ABCD為菱形，AB=10，tanB=

4

3

，E是AD邊上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），過E作EF⊥BC，交邊BC于點(diǎn)F．
（1）求EF的長；
（2）連接AC交EF于點(diǎn)N，M是BC邊上一動點(diǎn)，且CM=2AE，設(shè)AE=x，△CMN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)AE為何值時(shí)，△CMN是以MN為腰的等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）作AG⊥BC于G，根據(jù)AB=10，tanB=

4

3

，通過解直角三角形求得AG，然后根據(jù)平行線間的距離相等得出EF=AG即可；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求得

FN

CF

=2，然后通過三角形相似對應(yīng)邊成比例求得

EN

AE

=

FN

FC

=2，進(jìn)而求得FN=8-2x，從而求得三角形的面積；
（3）通過三角形全等求得EN=FN=4，根據(jù)（2）求得的EN=2AE即可求得；

解答：解：（1）作AG⊥BC于G，
∵tanB=

4

3

，
∴

AG

BG

=

4

3

，
∴AB=10，
∴AG=8，BG=6，
∴CG=10-6=4，
∵AG⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AG，EF=AG=8，

（2）∵EF∥AG，
∴

CF

CG

=

FN

AM

，
即

CF

4

=

FN

8

，
∴

FN

CF

=2，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，
∴△AEN∽△CFN，
∴

FC

AE

=

FN

EN

，
∴

EN

AE

=

FN

FC

=2，
∴EN=2AE=2x，
∴FN=EF-EN═8-2x，
∴y=

1

2

×2x（8-2x）=-2x²+8x，
即y=-2x²+8x（0＜x＜5）；

（3）∵△CMN是以MN為腰的等腰三角形，EF⊥BC，
∴MF=CF，
∵CM=2AE，
∴MF=CF=AE，
在△AEN與△CFN中，

∠ANE=∠FNC ∠AEN=∠CFN=90° AE=FC

，
∴△AEN≌△CFN（AAS），
∴EN=FN=

1

2

EF=4，
由（2）可知：EN=2AE，
∴AE=

1

2

EN=2；

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段定理等；本題的關(guān)鍵是找出EN=2AE的關(guān)系．