Question

【題目】如圖，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP.

(1)在圖①中，請你通過觀察、測量、猜想，寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

(2)將△EFP沿直線l向左平移到圖②的位置時，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；

(3)將△EFP沿直線l向左平移到圖③的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ，你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)AB＝AP，AB⊥AP (2)BQ＝AP，BQ⊥AP (3)成立

【解析】

（1）根據(jù)圖形就可以猜想出結(jié)論．（2）要證BQ=AP，可以轉(zhuǎn)化為證明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要證明BQ⊥AP，可以證明∠QMA=90°，只要證出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可證出．（3）類比（2）的證明就可以得到，結(jié)論仍成立．

(1)AB＝AP，AB⊥AP

證明：∵AC⊥BC且AC=BC，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣∠ACB）=45°，

又∵△ABC與△EFP全等，

同理可證∠PEF=45°，

∴∠BAP=45°+45°=90°，

∴AB=AP且AB⊥AP；

（2）BQ=AP；BQ⊥AP．

證明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，

∴∠EPF=45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠CPQ=45°．

∴CQ=CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴BQ=AP．

②如圖，延長BQ交AP于點(diǎn)M．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠1=∠2．

∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，

∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．

∴∠QMA=90°．

∴BQ⊥AP；

(3)成立．證明：∵∠EPF＝45°，∴∠CPQ＝45°.又∵AC⊥BC，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，∴CQ＝CP.由SAS可證△BCQ≌△ACP，∴BQ＝AP.延長QB交AP于點(diǎn)N，則∠PBN＝∠CBQ.∵△BCQ≌△ACP，∴∠BQC＝∠APC.在Rt△BCQ中，∠BQC＋∠CBQ＝90°，∴∠APC＋∠PBN＝90°，∴∠PNB＝90°，∴BQ⊥AP