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【題目】如圖，將ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F．

（1）求證：△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC=2∠D，連接AC、BE，求證：四邊形ABEC是矩形．

【答案】證明：（1）見解析

（2）見解析

【解析】

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠ABF＝∠ECF．

∵EC＝DC，∴AB＝EC．

在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，

∴△ABF≌△ECF．

(2)證法一：由(1)知AB＝EC，又AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AF＝EF，BF＝CF．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D，又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC．

∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB．

∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC．∴□ABEC是矩形．

證法二：由(1)知AB＝EC，又AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE．

又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠BCE．

∵∠AFC＝∠FCE＋∠FEC，∴∠FCE＝∠FEC．∴∠D＝∠FEC．

∴AE＝AD．

又∵CE＝DC，∴AC⊥DE，即∠ACE＝90°．

∴□ABEC是矩形．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E的位置隨點P的位置變化而變化．

（1）如圖1，當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數量關系是_________，CE與AD的位置關系是____________________；

（2）當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）．

（3）如圖4，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE，若，求四邊形ADPE的面積．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】大家知道是無理數，而無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不可能全部寫出來，因為，所以可用、來表示的小數部分.請解答下列問題：

(1)的整數部分是__________，小數部分是__________.

(2)如果的整數部分為，小數部分為，求的值.

(3)已知，其中是整數，且.則求的平方根的值.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】小明到商場購買某個牌子的鉛筆支，用了元（為整數）．后來他又去商場時，發(fā)現這種牌子的鉛筆降階，于是他比上一次多買了支鉛筆，用了元錢，那么小明兩次共買了鉛筆________支．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=．四邊形BDEF是△ABC的內接正方形（點D、E、F在三角形的邊上）．則此正方形的面積為( )

A.25．B. ．C.5．D.10．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，則線段EF的長為（　　）

A.3B.4C.5D.6

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】某單位招聘員工，采取筆試與面試相結合的方式進行，兩項成績的原始分均為100分．前6名選手的得分如下：

　　　　序號

項目

1

2

3

4

5

6

筆試成績/分

85

92

84

90

84

80

面試成績/分

90

88

86

90

80

85

根據規(guī)定，筆試成績和面試成績分別按一定的百分比折合成綜合成績(綜合成績的滿分仍為100分)．

（1）這6名選手筆試成績的中位數是________分，眾數是________分；

（2）現得知1號選手的綜合成績?yōu)?/span>88分，求筆試成績和面試成績各占的百分比；

（3）求出其余五名選手的綜合成績，并以綜合成績排序確定前兩名人選．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的三個頂點，，，以為頂點的拋物線過點，動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿線段向點運動，運動時間為秒，過點作軸交拋物線于點，交于點．

直接寫出點的坐標，并求出拋物線的解析式；

當為何值時，的面積最大？最大值為多少？

點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿線段向點運動，當為何值時，在線段上存在點，使以，，，為頂點的四邊形為菱形？

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖：在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；

證明：（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

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