已知關(guān)于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有兩個實數(shù)根x1、x2.
(1)求k的取值范圍;
(2)若函數(shù)y=x1+x2-x1x2+1,求函數(shù)y的最大值.
【答案】
分析:(1)根據(jù)△的意義由方程x
2-2(k-1)x+k
2=0有兩個實數(shù)根x
1、x
2得到△≥0,即4(k-1)
2-4k
2≥0,解不等式即可得到k的取值范圍;
(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x
1+x
2=2(k-1),x
1x
2=k
2,則y=x
1+x
2-x
1x
2+1=2(k-1)-k
2+1=-(k-1)
2,利用二次函數(shù)的性質(zhì),對稱軸為直線k=1,當(dāng)k<1時,y隨x的增大而增大,當(dāng)k=
時,y的值最大,然后把k=
代入計算即可.
解答:解:(1)∵方程x
2-2(k-1)x+k
2=0有兩個實數(shù)根x
1、x
2,
∴△≥0,即4(k-1)
2-4k
2≥0,解得k≤
,
即k的取值范圍為k≤
;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得,x
1+x
2=2(k-1),x
1x
2=k
2,
y=x
1+x
2-x
1x
2+1
=2(k-1)-k
2+1
=-(k-1)
2,
∵當(dāng)k<1時,y隨x的增大而增大,
∴當(dāng)k=
時,y的值最大,
即k=
,y的最大值=-(
-1)
2=-
.
點評:本題考查了一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b
2-4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì).