Question

拋物線y=ax²+2x+c與其對(duì)稱軸相交于點(diǎn)A（1，4），與x軸正半軸交于點(diǎn)B．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線對(duì)稱軸上確定一點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，求出所有點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),等腰三角形的判定

專題：

分析：（1）由拋物線y=ax²+2x+c與其對(duì)稱軸相交于點(diǎn)A（1，4），可得點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，則可得x=

2

2a

=1，則可求得a的值，繼而求得這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）首先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后分別從AB=AC，BA=BC，CA=CB去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c與其對(duì)稱軸相交于點(diǎn)A（1，4），
∴點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，
∴x=

2

2a

=1，
∴a=-1，
∴這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）∵拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)B，
∴0=-（x-1）²+4，
解得：x=3或x=-1，
∴點(diǎn)B（3，0），
若點(diǎn)A、B與拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)C構(gòu)成等腰三角形，有三種可能：
當(dāng)AB=AC時(shí)，點(diǎn)C（1，4±2

5

）；
當(dāng)BA=BC時(shí)，點(diǎn)C（1，-4）；
當(dāng)CA=CB時(shí)，點(diǎn)C（1，

3

2

）；
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（1，4+2

5

），（1，4-2

5

），（1，-4），（1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．