Question

【題目】如圖，已知，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與該拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上不與重合的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，交直線于點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)（2）中直線為時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使與相似？若存在請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（5，6）或（1，-6）；（3）存在，-2或-1

【解析】

(1)把A.B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
(2)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E.D的坐標(biāo)，從而可表示出PE和DE的長(zhǎng)，由條件可得關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)分兩種情況或，時(shí)，由二次函數(shù)的對(duì)稱性得出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可求解；時(shí)，如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的對(duì)稱性得出C點(diǎn)、F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得k的值．

解：（1）∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，

∴,

解得，

∴拋物線解析式為；

（2）當(dāng)時(shí)，直線的解析式為．

設(shè)，

則，，

則，

，

∵，

∴，

當(dāng)時(shí)，

解得或，

但當(dāng)時(shí)，與重合不合題意，舍去，

∴；

當(dāng)時(shí)，

解得或，

但當(dāng)時(shí)，與重合不合題意，舍去，

∴；

綜上可知點(diǎn)坐標(biāo)為或；

（3）存在.

∵，

∴要使與相似，

必有或，

①當(dāng)時(shí)，

如圖1，軸，

圖1

∵，根據(jù)對(duì)稱性可得，

將代入解析式中，

得，

解得，，

②當(dāng)時(shí)，

如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

圖2

則有，

則，

∴，

易得，

∴，

由

得或．

∴，

∴，

∴，，

∴ ，

解得，，（此時(shí)與重合，舍去）

綜上，當(dāng)或時(shí)，與相似.