【題目】如圖,⊙OABC的內(nèi)切圓

(1)∠A=60°,連接BO、CO并延長(zhǎng),分別交AC、AB于點(diǎn)D、E,

∠BOC的度數(shù);

試探究BE、CD、BC之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(2)AB=AC=10,sin∠ABC=,AC、AB⊙O相切于點(diǎn)D、E,將BC向上平移與⊙O交于點(diǎn)F、G,若以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,求平移的距離

【答案】(1)①120°,②BC= BE+CD;(2)平移的距離是1.2.

【解析】分析:(1)①由點(diǎn)O是內(nèi)心得∠BOC=120°;

②由切線長(zhǎng)定理可證得.

(2),連接AO并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)N,交ED于點(diǎn)M,由以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,求得EF=3.6,再證明AOEABN,求得,再證明AEDABC,得ED=3.2,即可求解.

詳解:(1)①∵∠A=60°

∴∠ABC+ACB=120°

∵⊙OABC的內(nèi)切圓

BD平分∠ABC,CE平分∠ACB

∴∠DBC+ECB=60°

∴∠BOC=120°

BC= BE+CD

作∠BOC的平分線OFBC于點(diǎn)F,

∵∠BOC=120°

∴∠BOE=60°,BOF=60°

BOE BOF

BOE≌△BOF(ASA

BE=BF

同理可證:CD=CF

BC= BE+CD

(2)如圖,連接AO并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)N,交ED于點(diǎn)M

∵⊙OABC的內(nèi)切圓

AO是∠BAC的平分線,

AB=AC,

ANBC

AB=AC=10,sinABC=

AN=8,BN=6

由切線長(zhǎng)定理得:BN=BE=6,AE=AD=4,

∵點(diǎn)D、E是⊙O的切點(diǎn),連接OE,AEO=ANB,BAN=BAN,

∴△AOEABN,,即

解得

BAC=BAC

∴△AEDABC

,

D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形

∴∠DEF=90°

是⊙O 的直徑

∴平移的距離是

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2)在(1)所畫(huà)圖中,

BDBE的位置關(guān)系為  ;

②線段BEBC的大小關(guān)系為BE  BC(填、),理由是  

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