Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓．

（1）若∠A＝60°，連接BO、CO并延長(zhǎng)，分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，

① 求∠BOC的度數(shù)；

② 試探究BE、CD、BC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，AC、AB與⊙O相切于點(diǎn)D、E，將BC向上平移與⊙O交于點(diǎn)F、G，若以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）①120°，②BC= BE＋CD；（2）平移的距離是1.2.

【解析】分析：（1）①由點(diǎn)O是內(nèi)心得∠BOC＝120°；

②由切線長(zhǎng)定理可證得.

（2），連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)N，交ED于點(diǎn)M，由以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求得EF=3.6，再證明△AOE∽△ABN，求得，再證明△AED∽△ABC，得ED=3.2，即可求解.

詳解：（1）①∵∠A＝60°

∴∠ABC＋∠ACB＝120°

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓

∴ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB

∴∠DBC＋∠ECB＝60°

∴∠BOC＝120°

②BC= BE＋CD

作∠BOC的平分線OF交BC于點(diǎn)F，

∵∠BOC＝120°

∴∠BOE＝60°，∠BOF＝60°

在△BOE與 △BOF中

∴ △BOE≌△BOF（ASA）

∴ BE=BF

同理可證：CD=CF

∴ BC= BE＋CD

（2）如圖，連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)N，交ED于點(diǎn)M

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓

∴ AO是∠BAC的平分線，

又 AB＝AC，

∴ AN⊥BC

∵AB＝AC＝10，sin∠ABC＝

∴ AN＝8，BN＝6

由切線長(zhǎng)定理得：BN＝BE=6，AE=AD＝4，

∵點(diǎn)D、E是⊙O的切點(diǎn)，連接OE，∠AEO=∠ANB，∠BAN=∠BAN，

∴△AOE∽△ABN，，即

解得

∴

∵，∠BAC=∠BAC

∴△AED∽△ABC

∴ ，

以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形

∴∠DEF＝90°

∴ 是⊙O 的直徑

∴

∴平移的距離是