Question

【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象過(guò)P（1，4），Q（4，2）兩點(diǎn)，且與x軸交于A點(diǎn)．

（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)M在x軸上，若使MP+MQ的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及MP+MQ的最小值；

（3）在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否還存在一點(diǎn)N，使M，N，A，Q四點(diǎn)恰好構(gòu)成平行四邊形，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1) A（7，0）;(2)3;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）把P（1，4），Q（4，2）代入y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求出此一次函數(shù)的解析式,然后得出點(diǎn)A的坐標(biāo);(2) 作Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出此時(shí)MP+MQ的值最�。�利用待定系數(shù)法求出直線PQ′的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及MP+MQ即可．

解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象過(guò)P（1，4），Q（4，2）兩點(diǎn)，

∴函數(shù)解析式為：

∴直線PQ和x軸交于A（7，0）;

（2）作Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q′（4,-2），連接PQ′交x軸于點(diǎn)M，則MP+MQ的值最小,

∵P(1,4), Q′（4,-2）, ∴P Q′= ,此時(shí)MP+MQ最小，∴（MP+MQ）最小=P Q′=

（3）存在N(6,-2)，(8,2)或N(0,2)，

理由：如圖：

①∵A(7,0),M(3,0),

∴在平行四邊形MAQ中，Q=AM=7-3=4, ∵Q∥x軸，∴(8,2);

②在平行四邊形MAQ中，Q=AM=7-3=4,而Q∥x軸，∴(0,2);

③在平行四邊形QMA中, ∵M(jìn)Q=A,∠QME=AF, ∠QEM=∠FA=90°，

∴△QME≌△AF, ∴QE=F=2,AF=ME=4-3=1, ∴OF=6, ∴(6,-2),

綜上所述：N(6,-2)，(8,2)或N(0,2).