Question

11．已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點B，與y軸交于點A，頂點P在直線OB上．

（1）如圖1，若點B的坐標為（3，6），點P的橫坐標為1，試確定拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在（1）的條件下，若點M是直線AB下方拋物線上的一點，且S_△ABM=3，求點M的坐標；
（3）如圖2，若點P在第一象限，且PA=PO，過點P作PD⊥x軸于點D．將拋物線y=x²+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過A，D兩點，與x軸的另一個交點為C．問：如何平移拋物線y=x²+bx+c，使四邊形OABC為正方形？

Answer 1

分析 （1）首先求出b的值，然后把b=-2及點B（3，6）的坐標代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+bx+c求出c的值，拋物線的解析式即可求出；
（2）首先求出A點的坐標，進而求出直線AB的解析式，設(shè)直線AB下方拋物線上的點M坐標為（x，x²-2x+3），過M點作y軸的平行線交直線AB于點N，則N（x，x+3），根據(jù)三角形面積為3，求出x的值，M點的坐標即可求出；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD=$\frac{c}{2}$，又知拋物線y=x²+bx+c的頂點坐標為 P（-$\frac{2}$，$\frac{4c-^{2}}{4}$），即可求出b和c的關(guān)系，進而得到A（0，$\frac{1}{2}$b²），P（-$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{4}$b²），D（-$\frac{1}{2}$b，0），根據(jù)B點是直線與拋物線的交點，求出B點的坐標，再由正方形的性質(zhì)求得拋物線的解析式，得出頂點坐標，由平移后的拋物線經(jīng)過點A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x²+mx+2，代入D的坐標，即可求得平移后的解析式，得出頂點坐標，從而求得平移的情況．

解答 解：（1）依題意，-$\frac{2×1}$=1，
解得b=-2．
將b=-2及點B（3，6）的坐標代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+bx+c得6=3²-2×3+c．
解得 c=3．
所以拋物線的解析式為y=x²-2x+3．

（2）∵拋物線y=x²-2x+3與y軸交于點A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直線AB的解析式為y=x+3．
設(shè)直線AB下方拋物線上的點M坐標為（x，x²-2x+3），過M點作y軸的平行線交直線AB于點N，則N（x，x+3）．（如圖1）
∴S_△ABM=S${\;}_{△AMN+{S}_{△BMN}}$=$\frac{1}{2}$MN•x_B=3．
∴$\frac{1}{2}$[x+3-（x²-2x+3）]×3=3．
解得 x₁=1，x₂=2．
故點M的坐標為（1，2）或 （2，3）．

（3）如圖2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=$\frac{c}{2}$．
∵拋物線y=x²+bx+c的頂點坐標為P（-$\frac{2}$，$\frac{4c-^{2}}{4}$），
∴$\frac{4c-^{2}}{4}$=$\frac{c}{2}$．
∴b²=2c．
∴拋物線y=x²+bx+$\frac{1}{2}$b²，A（0，$\frac{1}{2}$b²），P（-$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{4}$b²），D（-$\frac{1}{2}$b，0）．
可得直線OP的解析式為y=-$\frac{1}{2}$bx．
∵點B是拋物線y=x²+bx+$\frac{1}{2}$b²與直線y=-$\frac{1}{2}$bx的交點，
令 x²+bx+$\frac{1}{2}$b²=-$\frac{1}{2}$bx．
解得x₁=-b，x₂=-$\frac{2}$．
可得點B的坐標為（-b，$\frac{1}{2}$b²）．
∵四邊形OABC為正方形，
∴-b=$\frac{1}{2}$b²，
解得b₁=-2，b₂=0（舍去），
∴拋物線y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴頂點為（1，1），
由平移后的拋物線經(jīng)過點A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x²+mx+2．
將點D（1，0）的坐標代入y=x²+mx+2，得1+m+2=0，解得m=-3．
則平移后的拋物線解析式為y=x²-3x+2=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
∴平移后的拋物線的頂點為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
∴拋物線y=x²+bx+c向右平移$\frac{1}{2}$個單位，向下平移$\frac{5}{4}$單位，使四邊形OABC為正方形．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識，此題設(shè)計拋物線解析式得求法，拋物線頂點與對稱軸的求法以及正方形的性質(zhì)，特別是第三問設(shè)計到平移的知識，同學們作答時需認真，此題難度較大．