Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AB=l，BC=2，點E在AD上，且ED=3AE．
（1）求證：△ABC∽△EAB．     
（2）AC與BE交于點H，求HC的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可判斷．
（2）首先證明BH⊥AC，根據(jù)$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BH求出BH，再根據(jù)勾股定理即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，BC=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，
∵ED=3AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$，ED=$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{AB}{AE}$=2，$\frac{BC}{AB}$=2，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，
∵∠ABC=∠BAE=90°，
∴△ABC∽△EAB．
（2）解：∵△ABC∽△EAB，
∴∠ACB=∠ABE，
∵∠ABE+∠CBH=90°，
∴∠ACB+∠CBE=90°，
∴∠BHC=90°，
∴BH⊥AC，
在RT△ACB中，∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BH，
∴BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CH=$\sqrt{C{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查相似三角形的判斷和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用兩邊成比例夾角相等證明兩三角形相似，發(fā)現(xiàn)BH⊥AC這個突破口，屬于中考�？碱}型．