【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F.
(1)求證:AE=EF;
(2)如圖2,若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”,其余條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立? ;(填“成立”或“不成立”);
(3)如圖3,若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”,其余條件仍不變,那么結(jié)論AE=EF是否成立呢?若成立請(qǐng)證明,若不成立說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)成立;(3)成立,證明見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)取AB中點(diǎn)M,連接EM,求出BM=BE,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根據(jù)ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(2)截取BE=BM,連接EM,求出AM=EC,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根據(jù)ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(3)在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N,使AN=CE,連接NE,根據(jù)已知利用ASA判定△ANE≌△ECF,因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等,所以AE=EF.
試題解析:(1)證明:取AB中點(diǎn)M,連接EM,
∵AB=BC,E為BC中點(diǎn),M為AB中點(diǎn),
∴AM=CE=BE,
∴∠BME=∠BME=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在△AME和△ECF中,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(2)成立,
理由是:如圖,在AB上截取BM=BE,連接ME,
∵∠B=90°,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
∵AB=BC,BM=BE,
∴AM=EC,
在△AME和△ECF中,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(3)成立.
證明:如圖,在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N.使AN=CE,連接NE,
∴BN=BE,
∴∠N=∠NEC=45°,
∵CF平分∠DCG,
∴∠FCE=45°,
∴∠N=∠ECF,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA,即∠DAE+90°=∠BEA+90°,
∴∠NAE=∠CEF,
∴△ANE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
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