Question

16．已知點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若四邊形EFGH為正方形，則原四邊形ABCD應(yīng)具備什么條件？說(shuō)明你判斷的理由．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并等于第三邊的一半，先判斷出AC=BD，又正方形的四個(gè)角都是直角，可以得到正方形的鄰邊互相垂直，然后證出AC與BD垂直，即可得到四邊形ABCD滿足的條件．

解答 答：當(dāng)四邊形ABCD滿足AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形，
證明：∵E、F分別是四邊形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理，EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，GF=$\frac{1}{2}$BD，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=BD，
∴EF=EH=GH=GF，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的中位線定理、菱形的判定、矩形的性質(zhì)與正方形的判定．解題時(shí)注意中點(diǎn)四邊形的判定：一般中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；如果對(duì)角線相等，則得到的中點(diǎn)四邊形是菱形，如果對(duì)角線互相垂直，則得到的中點(diǎn)四邊形是矩形，如果對(duì)角線相等且互相垂直，則得到的中點(diǎn)四邊形是正方形．