Question

1．如圖，已知：A（m，4）是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的公共點(diǎn)
（1）若該一次函數(shù)分別與x軸y軸交于E、F兩點(diǎn)，且直角△EOF的外心為點(diǎn)A，試求它的解析式；
（2）在第（1）問(wèn)的條件下，在y=$\frac{12}{x}$的圖象上另取一點(diǎn)B，作BK⊥x軸于K，若在y軸上存在點(diǎn)G，使得△GFA和△BOK的面積相等，試求點(diǎn)G的坐標(biāo)？
（3）若（2）中的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，3m+6）（其中m＞0），在線段BK上存在一點(diǎn)Q，使得△OQK的面積是$\frac{1}{2}$，設(shè)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，求4n²-2n+9的值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)的解析式可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A為直角△EOF的外心可求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可求出△BOK的面積，即可得到△GFA的面積，從而可求出FG的長(zhǎng)，然后結(jié)合點(diǎn)F的坐標(biāo)就可解決問(wèn)題；
（3）把點(diǎn)B代入反比例函數(shù)的解析式可求出m，然后根據(jù)條件可求出n，從而可求出4n²-2n的值，就可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵A（m，4）在反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$上，
∴4m=12，
解得m=3，
∴A（3，4）．
∵點(diǎn)A是直角△EOF的外心，
∴點(diǎn)A是線段EF的中點(diǎn)，
∴E（6，0），F(xiàn)（0，8）．
∵點(diǎn)E（6，0），F(xiàn)（0，8）在直線y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$．
∴直線的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+8；

（2）∵BK⊥x軸，
∴S_△BOK=$\frac{12}{2}$=6，
∴S_△GFA=S_△BOK=6，
∴$\frac{1}{2}$GF•3=6，
∴GF=4．
∵F的坐標(biāo)為（0，8），
∴G的坐標(biāo)為（0，12）或（0，4）；

（3）∵B（m，3m+6）在反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象上，
∴m（3m+6）=12，
解得m₁=$\sqrt{5}$-1，m₂=-$\sqrt{5}$-1．
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{5}$-1．
∵S_△OQK=$\frac{1}{2}$mn=$\frac{1}{2}$，
∴n=$\frac{1}{m}$=$\frac{1}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，
∴4n=$\sqrt{5}$+1，
∴4n-1=$\sqrt{5}$，
∴16n²-8n+1=5，
∴4n²-2n=1，
∴4n²-2n+9=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的幾何意義、直角△EOF的外心、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，需要注意的是線段的長(zhǎng)度確定，端點(diǎn)的坐標(biāo)未必確定．