Question

2．已知x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m-3）x+m²+1=0的兩個根．
（1）當(dāng)m取何值時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根？
（2）若以x₁，x₂為對角線的菱形邊長是$\sqrt{3}$，試求m的值．

Answer 1

分析 （1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則有△=b²-4ac＞0，得到關(guān)于m的不等式，求解即可；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-2（m-3），x₁•x₂=m²+1．根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)以及勾股定理得出（$\frac{1}{2}$x₁）²+（$\frac{1}{2}$x₂）²=3，那么（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，由此得出關(guān)于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）由題意得△=[2（m-3）]²-4（m²+1）=32-24m，
要使方程有兩個不相等的實數(shù)根，需要△＞0，
即32-24m＞0，解得m＜$\frac{4}{3}$，
即m＜$\frac{4}{3}$時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）∵x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m-3）x+m²+1=0的兩個根，
∴x₁+x₂=-2（m-3），x₁•x₂=m²+1．
∵x₁，x₂為菱形的對角線，
∴x₁，x₂互相垂直并且平分，
∴（$\frac{1}{2}$x₁）²+（$\frac{1}{2}$x₂）²=3，
∴x₁²+x₂²=12，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，
∴[-2（m-3）]²-2（m²+1）=12，
∴m²-12m+11=0，
解得，m₁=1，m₂=11．
∵m＜$\frac{4}{3}$，
∴m₂=11不合題意，舍去，
∴m的值為1．

點評 此題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．
也考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理以及根與系數(shù)的關(guān)系．