Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中,直角梯形OABC的頂點A的坐標為(4，0)，直線y = -x + 3經(jīng)過頂點 B，與y軸交于頂點C，AB // OC.

(1)求頂點B的坐標.

(2)如 圖2，直線 L 經(jīng)過點 C，與直線 AB 交于點 M，點 O′為點 O 關(guān)于直線L的對稱點,聯(lián) 結(jié) CO′，并延長交直線AB于第一象限的點 D，當CD=5 時，求直線 L的解析式；

(3)在(2)條件下，點P在直線 L上運動，點Q在直線OD上運動，以 P、Q、B、C 為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能,請直接寫出點P坐標；若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）B(4,2)；（2）；（3）P點坐標為（2,2）或（5,）或（-2,4）.

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)點B的坐標為(4,y)，將x=4代入直線解析式即可求出B點縱坐標，從而得到B點坐標；

（2）過C點作CN⊥AB于N，由平行線和對稱的性質(zhì)可推出∠DCM=∠DMC，進而得到CD=MD=5，利用勾股定理求出DN，得到NM=2，易得AM=1，從而得到M點坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線L的解析式；

（3）連接OD，先求出OD直線解析式，根據(jù)點P在直線 L上運動，點Q在直線OD上運動，可設(shè)P點坐標為（），Q點坐標為（），在分類討論，利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)和中點坐標公式可建立方程求解.

解：(1)∵A(4,0)，AB∥OC，

∴設(shè)點B的坐標為(4,y)

把x=4代入中，得y=2，

∴B(4,2)；

(2)如圖，過C點作CN⊥AB于N,

∵AB∥OC，

∴∠OCM=∠DMC，

∵點 O′為點 O 關(guān)于直線L的對稱點

∴∠DCM=∠OCM，

∴∠DCM=∠DMC

∴CD=MD=5，

∵，當x=0時y=3，

∴OC=3，

∵CN=OA=4，

∴DN=，

∴NM=53=2，

∴AM=AN-NM=3-2=1

∴M(4,1)，

設(shè)直線L解析式y=kx+b把C(0,3)，M(4,1)代入得：

，解得，

∴直線L的解析式為：.

（3）如圖，連接OD，

∵AD=AM+MD=1+5=6，AD∥OC，A點坐標為（4,0）

∴D點坐標為（4,6）

設(shè)OD直線解析式為，將（4,6）代入可得，解得

∴直線OD解析式為，

∵點P在直線 L上運動，點Q在直線OD上運動

∴設(shè)P點坐標為（），Q點坐標為（），

分情況討論：

如圖1所示，當BC、PQ為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)和中點坐標公式可得：

，解得，

當時，

∴P點坐標為（2,2）；

如圖2所示，當BQ、PC為對角線時，同理可得：

，解得，

當時，

∴P點坐標為（5,）；

如圖3所示，當BP、CQ為對角線時，同理可得：

，解得，

當時，

∴P點坐標為（-2,4）；

綜上所述，P點坐標為：（2,2）或（5,）或（-2,4）.