Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，BC＝2，連接BD，把△ABD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△FBE，旋轉(zhuǎn)角度小于360°．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上，且直線EF過點(diǎn)D，求AB的長．

（2）若AB＝4，如圖2，取AB邊的中點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線EF的垂線PH，垂足為H．

① 若PH交線段BD于點(diǎn)G，當(dāng)△BPG為等腰三角形時，求BG的長；

② 直接寫出PH長的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到∠ABD=∠FBE,再用三線合一性質(zhì)得∠ABD=∠FBE=∠DBF=30°即可解題.（2）第一問過點(diǎn)P作PM⊥BD,證明△ABD∽△MBP,根據(jù)相似比,證明△BPG是等腰三角形,即可求出BG的長,第二問旋轉(zhuǎn)△BAD即可.

（1）由旋轉(zhuǎn)可知∠ABD=∠FBE,BD=BE,

∵四邊形ABCD為矩形,

∴∠DAB=∠EFB=∠ABE=90°,

∴BF垂直平分線段DE,

∴∠DBF=∠FBE,

∴∠ABD=∠FBE=∠DBF=30°

在直角三角形DAB中,AD=BC=2,

∴BD=4,AD=2

（2）①如圖所示,過點(diǎn)P作PM⊥BD于點(diǎn)M,

∵BC=AD=2,AB=4,P是AB邊的中點(diǎn),

∴BD=2（勾股定理）,BP=2,

又∵∠ABD=∠MBP

∴△ABD∽△MBP

∴=,即=

∴MB=

∵△BPG是等腰三角形,PM⊥BD

∴BG=2BM=

②2,以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△BAD,當(dāng)BF在AB的右側(cè)延長線時,PH最長=BF+BP=6

當(dāng)BF與AB重合時,PH最短=AB-BP=2