【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側(cè),拋物線的對稱軸x=1,與y軸交于C(0,﹣3)點,點P是直線BC下方的拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式及A、B點的坐標(biāo).
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點P,使四邊形POP′C為菱形;若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大;求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3,點A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣1,0)、(3,0);(2)存在,點P(1+,﹣);(3)故S有最大值為,此時點P(,﹣).
【解析】
(1)根據(jù)題意得到函數(shù)的對稱軸為:x=﹣=1,解出b=﹣2,即可求解;
(2)四邊形POP′C為菱形,則yP=﹣OC=﹣,即可求解;
(3)過點P作PH∥y軸交BC于點P,由點B、C的坐標(biāo)得到直線BC的表達(dá)式,設(shè)點P(x,x2﹣2x﹣3),則點H(x,x﹣3),再根據(jù)ABPC的面積S=S△ABC+S△BCP即可求解.
(1)函數(shù)的對稱軸為:x=﹣=1,解得:b=﹣2,
∴y=x2﹣2x+c,
再將點C(0,﹣3)代入得到c=-3,
,∴拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣2x﹣3,
令y=0,則x=﹣1或3,
故點A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣1,0)、(3,0);
(2)存在,理由:
如圖1,四邊形POP′C為菱形,則yP=﹣OC=﹣,
即y=x2﹣2x﹣3=﹣,
解得:x=1(舍去負(fù)值),
故點P(1+,﹣);
(3)過點P作PH∥y軸交BC于點P,
由點B、C的坐標(biāo)得到直線BC的表達(dá)式為:y=x﹣3,
設(shè)點P(x,x2﹣2x﹣3),則點H(x,x﹣3),
ABPC的面積S=S△ABC+S△BCP
=×AB×OC+×PH×OB
=×4×3+×3×(x﹣3﹣x2+2x+3)
=﹣x2+x+6,
=
∵-<0,
∴當(dāng)x=時,S有最大值為,此時點P(,﹣).
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【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,PA與⊙O相切于A點,點C是⊙O上的一點,且PC=PA.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若∠BAC=45°,AB=4,求PC的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的邊長為4,把它內(nèi)部及邊上的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點,點P為拋物線的頂點(m為整數(shù)),當(dāng)點P在正方形OABC內(nèi)部或邊上時,拋物線下方(包括邊界)的整點最少有( )
A.3個B.5個C.10個D.15個
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【題目】如圖1是一塊內(nèi)置量角器的等腰直角三角板,它是一個軸對稱圖形.已知量角器所在的半圓O的直徑DE與AB之間的距離為1,DE=4,AB=8,點N為半圓O上的一個動點,連結(jié)AN交半圓或直徑DE于點M.
(1)當(dāng)AN經(jīng)過圓心O時,求AN的長;
(2)如圖2,若N為量角器上表示刻度為90°的點,求△MON的周長;
(3)當(dāng)時,求△MON的面積.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3圖象與x軸分別交于點B、D,與y軸交于點C,頂點為A,分別連接AB,BC,CD,DA.
(1)求四邊形ABCD的面積;
(2)當(dāng)y>0時,自變量x的取值范圍是 .
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【題目】如圖,在ABCD中,AC,BD相交于點O,點E是OA的中點,連接BE并延長交AD于點F,已知S△AEF=4,則下列結(jié)論:①;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正確的是( )
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象在第一象限相交于點.
(1)試確定這兩個函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求出這兩個函數(shù)圖象的另一個交點的坐標(biāo),并根據(jù)圖像寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的取值范圍.
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【題目】已知△ABC是等邊三角形,AD⊥BC于點D,點E是直線AD上的動點,將BE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BF,連接EF、CF、AF.
(1)如圖1,當(dāng)點E在線段AD上時,猜想∠AFC和∠FAC的數(shù)量關(guān)系;(直接寫出結(jié)果)
(2)如圖2,當(dāng)點E在線段AD的延長線上時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明你的結(jié)論,若不成立,請寫出你的結(jié)論,并證明你的結(jié)論;
(3)點E在直線AD上運(yùn)動,當(dāng)△ACF是等腰直角三角形時,請直接寫出∠EBC的度數(shù).
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