Question

（本題滿分8分）

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，直線MN經(jīng)過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠DAC.

（1）猜想直線MN與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由，

（2）若CD＝6，cos∠ACD＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）MN與⊙O相切，理由見解析；

（2）⊙O的半徑為.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由OA=OC，可得∠BAC=∠OCA，再由∠BAC=∠DAC，得∠OCA=∠DAC，從而AD∥OC， 由AD⊥MN，可得OC⊥MN，即MN與⊙O相切；

（2）由CD＝6，cos∠ACD＝，可得AC=10，又由∠ACB=∠ADC，∠BAC=∠DAC，可得△ABC∽△ACD，利用相似比即可得AB的長，從而得半徑長.

試題解析：（1）MN與⊙O相切，

理由：連接OC， ∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠OCA=∠DAC，∴AD∥OC， ∵AD⊥MN， ∴OC⊥MN，∵OC為⊙O的半徑， ∴MN與⊙O相切；

（2）∵AD⊥MN， ∴∠ADC=90°，∴AC==6÷=10，∴AD==8，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ADC， ∵∠BAC=∠DAC， ∴△ABC∽△ACD， ∴，

∴AB===，∴⊙O的半徑為.

考點：1、切線的判定與性質(zhì)；2、三角函數(shù)的應(yīng)用；3、相似三角形的判定與性質(zhì).